3.3 Alakmutatók
Az eloszlás alakjának jellemzésére egy harmadik megközelítést is bemutatunk, méghozzá számított mutatószámok segítségével.
3.3.1 Ferdeség
Az aszimmetria mérésére több alkalmas mutatószám is kidolgozásra került. Ahogy azt a 2.2.6. fejezetben is említettük, a számtani átlag és a medián egymáshoz viszonyított helyzete árulkodik az eloszlás alakjáról, hiszen míg a medián nem érzékeny a kiugró értékekre, addig a számtani átlag igen. Így, ha a két középérték között jelentős különbség van, valószínűleg aszimmetrikus a vizsgált eloszlás alakja. A két középérték különbségén alapuló mutatószámok is léteznek, de a leggyakrabban mégis az alábbi -- később megismerendő fogalommal élve harmadrendű momentumokon alapuló -- mutatót alkalmazzuk a ferdeség jellemzésére.
\[\begin{equation} \gamma_1 = \dfrac{\frac{1}{N}\sum\left(X_i-\mu\right)^3}{\sigma^3} \tag{3.3} \end{equation}\]
Amennyiben a mutató értéke
- 0 körüli, úgy szimmetrikus eloszlásról
- negatív, akkor baloldali aszimmetriáról
- pozitív, akkor jobboldali aszimmetriáról
beszélünk. A gazdasági jelenségek esetén nagyon gyakran találkozunk a pozitív ferdeséggel, azaz a jobboldali aszimmetriával.
Léteznek egyéb mutatók a szakirodalomban, melyek az átlag és a medián, esetleg az átlag és a módusz egymáshoz viszonyított helyzete alapján kerülnek kiszámításra. A nemzetközi szakirodalom azonban a leggyakrabban a (3.3) formula alapján vizsgálja az aszimmetriát.
3.3.2 Csúcsosság
A csúcsosság mutatója azt méri, hogy a módusz (vagy modális, leggyakrabban előforduló osztályköz) környékén mennyire sűrűsödnek a megfigyelések -- egy negyedrendű momentumokon alapuló -- mérőszám segítségével.
\[\begin{equation} \gamma_2 = \dfrac{\frac{1}{N}\sum\left(X_i-\mu\right)^4}{\sigma^4} - 3 \tag{3.4} \end{equation}\]
Amennyiben a mutató értéke
- 0 körüli, úgy átlagos csúcsosságú, "normális" eloszlásról
- negatív, akkor lapult eloszlásról
- pozitív, akkor csúcsos eloszlásról
beszélünk. A tananyag későbbi, 6. fejezetében részletesen foglalkozunk a most csak "normálisnak" hívott elméleti eloszlással.
A 3.1. és 3.2. fejezetekben boxplotokon, illetve hisztogramokon bemutatott öt sokaság esetére kiszámítottuk a ferdeség és csúcsosság mutatókat, amiket a 3.4. táblázat mutat be.
| Sokaság | Ferdeség | Csúcsosság |
|---|---|---|
| 1. szimmetrikus, nem túl lapos, nem túl csúcsos | -0,01 | 0,05 |
| 2. szimmetrikus, lapult eloszlás | 0,01 | -1,20 |
| 3. szimmetrikus, csúcsos eloszlás | 0,04 | 1,35 |
| 4. jobboldali aszimmetria, csúcsos eloszlás | 1,34 | 2,42 |
| 5. baloldali aszimmetria, csúcsos eloszlás | -1,33 | 2,34 |