5 . fejezet Diszkrét valószínűségi változó

A 4. fejezetben események valószínűségének kiszámításával foglalkoztunk. A gyakorlatban a véletlen kísérletek kimeneteleit számokkal jellemezzük, ezt a minden kimenetelhez egy számot rendelő függvényt valószínűségi változónak hívjuk, és jellemzően \(X\)-szel jelöljük. A statisztikai változó fogalomhoz hasonlóan pl. \(Y\)-nal jelölünk egy további valószínűségi változót, vagy ha sok változóval dolgozunk a későbbiekben, akkor gyakori az \(X_1, X_2, \dots, X_k\) jelölés is. Fontos azonban megjegyezni, hogy -- bár nagyon hasonlók -- nem keverendő össze a 2. fejezetben megismert sokaságot leíró változó és a valószínűségi változó. Utóbbi egy absztraktabb fogalom, bár leírására hasonló fogalmakat is használunk majd, mint egy statisztikai változó esetén.

Egy adott eseménytérhez (végtelen) sok valószínűségi változó definiálható. Amennyiben a véletlen kísérlet a jövő heti (ötös)lottóhúzáson való részvétel egy szelvénnyel, akkor \(X\) lehet például az elért találatok száma, egy másik \(Y\) valószínűségi változó lehet az elért nyeremény nagysága. Egy másik példában a véletlen kísérletek lehetnek egy call-centerbe beérkező hívások. Ekkor \(X\) lehet az egységnyi időtartam (pl. egy óra) alatt beérkező hívások száma, \(Y\) pedig a hívások hossza, stb.

A statisztikai mintavétel is egy véletlen kísérletnek fogható fel és ne feledjük, hogy a valószínűségszámítás elsősorban a következtetéses statisztika megalapozásához ad számunkra segítséget. Valószínűségi változó lehet a mintába került első megfigyelés testmagassága, vagy egy másik esetben a mintába került vállalatok átlagos árbevétele is.

Attól függően, hogy a valószínűségi változó értékkészlete milyen számosságú, megkülönböztetünk:

• diszkrét
  • véges számosságú
  • megszámlálhatóan végtelen számosságú
• folytonos

valószínűségi változókat.

A diszkrét valószínűségi változók jellemzően számlálás útján keletkeznek, így a lehetséges értékek a természetes számok körében keresendők. A folytonos valószínűségi változók jellemzően valamilyen mérési folyamat eredményeképp állnak elő, így a lehetséges értékek általában a valós számok valamely részhalmazán találhatók, azaz kontinuum számosságú potenciális kimenettel rendelkeznek.

Az előző példák közül az ötöslottón elért találatok száma egyértelműen véges számosságú, diszkrét valószínűségi változó, hiszen a lehetséges találatok száma mindössze hat: \(0, 1, \dots, 5\). Az egy óra alatt beérkező telefonhívások száma megszámlálhatóan végtelenül sok különböző értéket vehet fel, azaz nincs egy olyan felső határ, mint a lottó találatok esetén, a beérkező hívások száma lehet \(0, 1, 2, \dots\). A hívások hossza, vagy a mintába került vállalatok átlagos árbevétele folytonos változó, hiszen bizonyos korlátok között bármilyen, nemnegatív valós értéket felvehetnek, a lehetséges értékek halmazának felsorolása lehetetlen lenne.