5.4 Gyakorló feladatok

Szükséges Excel ismeretek

Függvények:

  • SZORZATÖSSZEG (a várható érték meghatározásához súlyfüggvény alapján)
  • BINOM.ELOSZL, BINOM.INVERZ
  • HIPGEOM.ELOSZLÁS
  • POISSON.ELOSZLÁS
Az Excel ELOSZLÁS függvényei egyaránt alkalmasak a súly-, és eloszlásfüggvények értékeinek (valószínűségek) kiszámítására, az első paraméterben megadott \(k\) értékének függvényében. Odafigyelést igényel a függvények paramétereinek helyes megadása, különösen ha a függvénybe nem számokat, hanem abszolút és relatív hivatkozásokat írunk!

Funkciók:

  • A súly- és eloszlásfüggvény ábrázolása oszlopdiagramon
  1. Egy szabályos érmét ötször feldobunk egymás után. Jelölje \(X\) a dobott fejek számát.
    1. Milyen nevezetes eloszlást követ \(X\)?
    2. Rajzolja le \(X\) súly- és eloszlásfüggvényét!
    3. Mekkora a valószínűsége, hogy kevesebb, mint 3 fejet dobunk?
    4. Mekkora a valószínűségi változó várható értéke?
    5. Mennyi a variancia, illetve a szórás?
  1. Az előző gyakorlaton megismert 100 fős évfolyamból (44 fiú, 56 lány) 10 fős mintát veszünk visszatevés nélkül. Jelölje \(X\) a mintába került fiúk számát!
    1. Milyen nevezetes eloszlást követ \(X\)?
    2. Rajzolja le \(X\) súly- és eloszlásfüggvényét!
    3. Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 4, de legfeljebb 6 fiú kerül be a mintába?
    4. Mekkora a valószínűségi változó várható értéke?
    5. Mennyi a variancia, illetve a szórás?
  1. Jelölje \(X\) egy call-centerbe érkező hívások számát 5 perces időtartam alatt. Tudjuk, hogy a beérkező hívások száma Poisson eloszlást követ, \(\lambda=3\) paraméterrel.
    1. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a következő 5 percben \(0, 1, \dots, 10\) hívás érkezik be!
    2. Hány hívásra kell felkészülnünk, ha legalább 95%-ig bizonyosak szeretnénk benne lenni, hogy válaszolni tudunk a hívásokra?
    3. Mekkora a valószínűsége, hogy 5 perc alatt 4-nél több hívás érkezik be?
    4. Várhatóan hány hívás érkezik be egy 10 perces időtartam alatt?
  1. A tanult nevezetes eloszlások alapján válaszolja meg az alábbi kérdéseket!
    1. Milyen eloszlást követ az ötöslottón elért találataink számát leíró valószínűségi változó?
    2. És hatoslottó esetében?
    3. Milyen eloszlást követ az a valószínűségi változó, amely egy 4,8millió férfiből és 5,2 millió nőből visszatevéssel kiválasztott 10 elemű mintába kerülő nők számát írja le?
    4. És visszatevés nélkül?
  1. hipergeometriai eloszlás, \(N=90, n=5, K=5\)
  2. hipergeometriai eloszlás, \(N=45, n=6, K=6\)
  3. binomiális eloszlás, \(\pi=0,52, n=10\)
  4. hipergeometriai eloszlás, \(N=10\,000\,000, n=10, K=5\,200\,000\), de használható a binomiális eloszlás is, a különbség elhanyagolható a sokaság nagy mérete miatt
  1. Egy 10 méteres szövetben átlagosan 6 szövés hiba van.
    1. Milyen eloszlást követ az egy méterben található szövési hibák száma?
    2. Mekkora a valószínűsége, hogy 5 méterben 10-nél több hiba van?
  1. Poisson(0,6)
  2. 0,000292
  1. Egy nyomdagép 200 oldalanként átlagosan 30 hibát ejt, melyekről feltehető, hogy egymástól függetlenül, véletlenszerűen bukkannak fel. Mi a valószínűsége, hogy egy 1000 oldalas könyvben pontosan 140 hiba található? Milyen eloszlásokkal modellezhető a fenti jelenség?

A jelenség egyrészt modellezhető binomiális eloszlással, \(\pi=\frac{K}{N}=0{,}15\) paraméterrel, ekkor a valószínűség 0,0243. A Poisson eloszlás segítségével, \(\lambda=150\) paramétert használva a keresett valószínűség 0,0239.

  1. Egy tanulmány szerint a lakosság 86%-a rendelkezik mobiltelefonnal. Tegyük fel, hogy egy 15 elemű független minta áll rendelkezésre. Mi a valószínűsége, hogy a mintában
    1. 12-en rendelkeznek mobiltelefonnal?
    2. legalább 12-en rendelkeznek mobiltelefonnal?
    3. mind a 15-en rendelkeznek mobiltelefonnal?
    4. Mi a mobiltelefonnal rendelkezők számának várható értéke?
    5. A mintavételt többször elvégezve átlagosan mennyivel ingadozna a mobiltelefonnal rendelkezők száma a várható érték körül?
    6. Amennyiben egy adott földrajzi területről gyűjtött 10 fős mintában egyetlen megkérdezett sem rendelkezik mobiltelefonnal, akkor milyen következtetést tud levonni az eredeti adatokról arra a területre vonatkozóan?

Ugyan a mintát valószínűleg visszatevés nélkül végezték, nem áll azonban rendelkezésre a sokaság elemszáma, így a hipergeometriai eloszlás nem használható, a nagy \(N\) és alacsony \(n\) érték miatt azonban használható a binomiális eloszlás. a) 0,2044 b) 0,8524 c) 0,1041 d) \(\mathbf{E}\left(X\right)=12{,}9\) e) \(\mathbf{D}\left(X\right)=1{,}3439\) f) Ha az eredeti állítás igaz lenne az adott térségre is, úgy ennek az eseménynek a bekövetkezése szinte lehetetlen (a valószínűség \(2{,}89 \cdot 10^{-9}\)), azaz nagy biztonsággal mondhatjuk, hogy az adott területen nem 86% a sokasági arány.

  1. Múltbeli tapasztalatok alapján a papírgyárban a másodosztályú papír esetén a méterenkénti hibaszám Poisson eloszlást követ, méghozzá 10 méterenként átlagosan 1 hibával. Mi a valószínűsége, hogy egy
    1. egyméteres darabon pontosan egy hiba található?
    2. egy ötméteres papíron 2, vagy annál több hiba található?
    3. 20 méteres tekercsen egy hiba sem található?
  1. 0,0905
  2. 0,0902
  3. 0,1353
  1. Egy vállalatnál egy új öttagú bizottság felállítását tervezik. 15-en esélyesek a bekerülésre, ebből 7 női alkalmazott van. Ha véletlenszerű a kiválasztás, mi a valószínűsége, hogy
    1. pontosan három nő kerül be a bizottságba?
    2. legalább három nő kerül be a bizottságba?
    3. nem kerül be férfi a bizottságba?

Mivel a kiválasztás "visszatevés nélküli", ezért a hipergeometriai eloszlást alkalmazva: a) 0,3263 b) 0,4266 c)0,0070

  1. Az adóhivatal országos összesítése azt mutatja, hogy a magyar fiatalok 78%-ának van bankszámlája. Amennyiben egy bank képviseletében osztályfőnöki órán a bank termékeit ajánljuk, a 25 fős osztályt véletlen mintaként tekintjük, mi a valószínűsége, hogy
    1. 5 vagy annál több diáknak nincs bankszámlája?
    2. mindenki rendelkezik bankszámlával?
    3. Hány diák a rendelkezik várhatóan bankszámlával? Mekkora a szórás?
    4. Mi az a feltételezés, amivel élnünk kell a fenti kérdések megválaszolásakor?
  1. 0,6718
  2. 0,0020
  3. \(\mathbf{E}\left(X\right)=19{,}5 \qquad \mathbf{D}\left(X\right)=2{,}0712\)
  4. Feltételeznünk kell, hogy a mintaelemeink egymástól függetlenek, azaz az egyik diák számlával való rendelkezése nem befolyásolja a többi diák számlával való rendelkezését.
  1. A Budapest Airport adatai alapján az egyik légitársaság gépei az esetek 87,5%-ában pontosan érkeznek a repülőtérre, tegyük fel, hogy a beérkezések egymástól függetlenek. Mi a valószínűsége, hogy a következő 6 járatból
    1. pontosan 4 fog késve érkezni?
    2. mind a 6 időben érkezik?
    3. Mennyi a pontosan érkező gépek várható értéke és szórása?
  1. 0,0028
  2. 0,4488
  3. \(\mathbf{E}\left(X\right)=5{,}25 \qquad \mathbf{D}\left(X\right)=0{,}8101\)
  1. A Budapest Airport adatai szerint az egyik légitársaság esetén az elveszített csomagok aránya 3,5 ezrelék, azok egymástól függetlenek. Modellezze az eseményt binomiális és Poisson eloszlás segítségével is! Mi a valószínűsége, hogy egy adott napon, amikor 1000 fő csomagjait kezelik
    1. nem tűnik el csomag?
    2. pontosan egy csomag tűnik el?
    3. kettő, vagy annál több csomag tűnik el?

A két eloszlás segítségével modellezett valószínűségeket az alábbi táblázat foglalja össze:

keresett valószínűség binomiális Poisson
\(\mathbf{P}\left(X=0\right)\) 0,0300 0,0302
\(\mathbf{P}\left(X=1\right)\) 0,1054 0,1057
\(\mathbf{P}\left(X \geq 2 \right)\) 0,8646 0,8641
  1. Egy szolgáltató megfigyelte, hogy ügyfelei a telefonos ügyfélszolgálaton hány csörgés után teszik le a telefont. Az eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze (pl. a hetedik csörgés után az ügyfelek 98%-a már letette a telefont, a nyolcadik csörgés után pedig a rendszer megszakítja a hívást).
    1. Milyen valószínűségeket figyelt meg az ügyfélszolgálat?
    2. Mi a valószínűsége, hogy pontosan 3 csörgés után teszi le egy véletlenül kiválasztott ügyfél a telefont?
    3. Az ügyfelek elégedettségének növelése érdekében a cég lépéseket tervez. Határozza meg a csörgések számának várható értékét!
csörgés valószínűség
2 0,10
3 0,30
4 0,65
5 0,85
6 0,97
7 0,98
8 1,00
  1. A megfigyelt valószínűségek empirikus eloszlásfüggvényt írnak le, hiszen azt mutatják meg, hogy \(\mathbf{P}\left(X \leq x\right)\).
  2. Annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 csörgést vár egy véletlenszerűen kiválasztott ügyfél \(p_3 = \mathbf{P}\left(X = 3\right) = \mathbf{P}\left(X \leq 3\right) - \mathbf{P}\left(X \leq 2\right) = 0{,}3-0{,}1 =0{,}2\). A többi súlyfüggvény-érték hasonlóan kivonással számítandó.
  3. \(\mathbf{E}(X)=\sum_k x_k p_k=4{,}15\)
  1. Mennyi lenne az előző heti ötöslottó fair ára (Egy játékot fairnek nevezünk, ha ára megegyezik a kifizetések várható értékével)? Számítsa ki a hatoslottó fair árát is!

A megoldás természetesen hétről hétre változik, a fair ár, azaz a nyeremény várható értéke csak utólag, a konkrét nyereményösszegek ismeretében számítható. Tekintsük most a 2013-as lottóláz utolsó hetében (2013. 38. játékhét) érvényes ötöslottó nyereményeket!

találat nyeremény (Ft) valószínűség
5 \(3\,087\,029\,290\) 0,0000000228
4 \(1\,608\,215\) 0,0000096702
3 \(19\,565\) 0,0008123002
2 \(1\,330\) 0,0224736394
1 \(0\) 0,2303548036
0 \(0\) 0,7463495638

Ebből fair árként 131,58 forint adódik, egy átlagos héten, amikor az ötös találat nyereménye jóval alacsonyabb, a fair ár 60-70 forint körül alakul. A hatoslottó esetén a bemutatotthoz hasonlóan végezhető el a várható érték kiszámítása. A 3 milliárd feletti összeg nyertesének ezúton is gratulálunk!

  1. Egy részvény ára ma 100 dollár és ezentúl minden nap \(u\) szorosára nő \(p\) valószínűséggel vagy \(d\) szeresére csökken \(q=1-p\) valószínűséggel, az előző napi mozgástól függetlenül.
    1. Milyen kimenetelek fordulhatnak elő \(n\) nap elteltével?
    2. Milyen eloszlást fognak követni a kimenetelek?
    3. Mennyi lesz a részvényár várható értéke az \(n\)-ik nap elteltével?
  1. A lehetséges kimenetelek a \(100 \cdot u^k \cdot d^{\left(n-k\right)}\) formulával írhatók le, ahol \(k=0,1,\dots,n\) értékeket vehet fel.
  2. \(p, n\) paraméterű binomiális eloszlás
  3. \(100 \cdot \left(u \cdot p + d \cdot q\right)^n\)