6.4 Gyakorló feladatok

Szükséges Excel ismeretek

Függvények:

  • EXP.ELOSZL
  • NORM.S.ELOSZLÁS, NORM.S.INVERZ
  • NORM.ELOSZLÁS, NORM.INVERZ
Az Excel INVERZ függvényei az adott nevezetes eloszlásfüggvény alapján adják meg azt az \(x\) értéket, amelynél az eloszlásfüggvény éppen a megadott valószínűséget adja vissza.

Funkciók:

  1. Egy nagykereskedő terméke iránti napi kereslet jó közelítéssel normális eloszlású, \(\mu=1\,000\), \(\sigma=50\) paraméterekkel. Ábrázolja az eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Határozza meg, hogy
    1. mekkora valószínűséggel lesz a napi kereslet pontosan 950 darab?
    2. mekkora valószínűséggel lesz a napi kereslet 920 darab feletti?
    3. mekkora valószínűséggel lesz elegendő 6 alkalmazott egy adott napon, ha fejenként 150 darab termék ellenőrzésére, kiadására, elszámolására képesek?
    4. mekkora valószínűséggel lesz a napi kereslet 1020 és 1030 darab között?
    5. a napok leggyengébb keresletű 20%-án maximálisan mekkora keresletre kell számítani? Mekkora z-érték tartozik ehhez a darabszámhoz?
    6. a napok legnagyobb keresletű 60%-án minimálisan mekkora keresletre kell számítani? Ilyen napokon minimálisan hány alkalmazottra van szükség?
    7. a napok középső 50%-ában milyen darabszámokra kell számítania a kereskedőnek?
  1. Jelölje \(X\) egy call-centerbe beérkező két hívás között eltelt időt percben, amely exponenciális eloszlást követ. Tudjuk, hogy várhatóan 3 perc telik el két hívás között.
    1. Írja fel és ábrázolja az eloszlás sűrűség- és eloszlásfüggvényét!
    2. Mi az eloszlás várható értéke és szórása?
    3. Mekkora valószínűséggel telik el kevesebb mint 4 perc két hívás között?
    4. Számítsa ki a \(\mathbf{P}\left(X=4\right)\) valószínűséget!
    5. Melyik az az időtartam, amelynél a hívások között eltelt időtartamok 5%-a rövidebb?

  1. A kétliteres üdítők töltési térfogata normális eloszlást követ, 0,03 literes szórással. Amennyiben az üdítő 1,9 liter alatti mennyiséget tartalmaz, a gyártó felelősségre vonható. 2,1 liter feletti esetben túlnyomás miatti problémák jelentkeznek. Egy véletlenszerűen kiválasztott palack esetén az mekkora valószínűséggel lesz

    1. 1,9 és 2,1 liter közötti töltési térfogatú?
    2. 1,9 és 2 liter közötti töltési térfogatú?
    3. problémás, azaz 1,9 liter alatti, vagy 2,1 liter feletti?
    4. Mi az a két, 2 literre szimmetrikus érték, amik között a palackok 99%-ának tartalma található?

Legyen \(X\) a véletlenszerűen kiválasztott palack töltési térfogata. Tudjuk, hogy \(X \sim N(2, 0{,}03)\)

  1. \(\mathbf{P}\left(1{,}9 \leq X \leq 2{,}1\right)\) =NORM.ELOSZL(2,1; 2; 0,03; IGAZ) - NORM.ELOSZL(1,9; 2; 0,03; IGAZ)

  2. =NORM.ELOSZL(2; 2; 0,03; IGAZ) - NORM.ELOSZL(1,9; 2; 0,03; IGAZ)

  3. =1 - (NORM.ELOSZL(2,1; 2; 0,03; IGAZ) - NORM.ELOSZL(1,9; 2; 0,03; IGAZ))

  4. =NORM.INVERZ(0,005; 2; 0,03), illetve =NORM.INVERZ(0,995; 2; 0,03)

  1. Egy nagy áruház egy adott, 30 termékből álló termékkosár megvásárlására fordított időt vizsgálja egyik üzletében. Az eredmények azt mutatják, hogy a szükséges idő jó közelítéssel egyenletes eloszlást mutat 35 és 50 perc között. Mi a valószínűsége, hogy a vásárlásra fordított idő
    1. 30 és 45 perc között lesz?
    2. kevesebb mint 40 perc?
    3. több mint fél óra?
    4. több mint háromnegyed óra?
    5. Mekkora a vásárlási idő várható értéke?
    6. Mekkora a vásárlási idő szórása?
    7. Mi a valószínűsége, hogy a vásárlási idő a várható érték egy szórásnyi környezetében lesz?
    8. Mi a valószínűsége, hogy a vásárlási idő a várható érték két szórásnyi környezetében lesz?
    9. Legalább hány percig tart a vásárlások leghosszabb 10%-a?
    10. Legfeljebb hány percig tart a vásárlások legrövidebb 10%-a?

\(X\sim\mathcal{U}(35,50)\)

  1. \(\dfrac{2}{3}\)
  2. \(\dfrac{1}{3}\)
  3. 1
  4. \(\dfrac{1}{3}\)
  5. 42,5 perc
  6. 4,33 perc
  7. 0,5774
  8. 1
  9. 48,5 perc
  10. 36,5 perc
  1. Egy nagy áruház pénztáránál az átlagos várakozási idő 3,5 perc, exponenciális eloszlással. Mennyi a valószínűsége, hogy
    1. pontosan két percet
    2. mindössze két percet, vagy annál rövidebb időt
    3. öt percnél többet
    4. 3 és 4 perc közötti időtartamot kell várakoznunk?
  1. 0
  2. 0,4353
  3. 0,2397
  4. 0,1055
  1. Egy nagy pécsi áruház pénztáránál az átlagos várakozási idő 4 perc, exponenciális eloszlással. Milyen hosszú várakozási időre kell számítanunk, ha 90%-ig biztosak akarunk benne lenni, hogy végzünk az adott idő alatt?

9,2103 perc

  1. Egy autóalkatrészeket gyártó kft. a gépkocsikba szerelt acéllemezeket gyárt, melyek vastagsága 2,99 és 3,01 mm közötti lehet. A jelenlegi gyártósoruk által készített lemezek vastagsága közelítőleg normális eloszlást követ, technológiai okok miatt 0,005 mm szórással, függetlenül a várható értéktől.
    1. Mekkora átlagos vastagságot állítsanak be, hogy a lehető legkevesebb selejtes termék kerüljön előállításra?
    2. Ezzel a beállítással a termékek hány százaléka lesz selejtes? Hány darabot jelent ez, ha éves szinten 10 millió darabos megrendeléssel rendelkeznek?
    3. Hány darab terméket kell legyártani, hogy a 10 millió darabos megrendelést ki tudják elégíteni selejtes termék nélkül?
  1. A legnagyobb valószínűséget úgy kapjuk, ha a várható értéket 3,00 milliméterre állítjuk.
  2. A várható értéktől két szórásnyival távolabb lévő termékek aránya normális eloszlás esetén 4,55%, ez mintegy \(455\,000\) darab hibás terméket jelent.
  3. Hozzávetőlegesen \(10\,476\,692\) darab terméket kell legyártanunk, hogy legyen \(10\,000\,000\) darab nem selejtes.
  1. Egy kormányzati weboldalon található alkalmazás letöltési ideje közelítőleg normális eloszlást követ, 12 másodperces várható értékkel, 2,4 másodperces szórással. Mi annak a valószínűsége, hogy a letöltési idő
    1. kevesebb mint 11 másodperc?
    2. 11 és 13 másodperc közötti?
    3. több mint 9 másodperc?
    4. Mi az az időtartam, aminél a letöltések 99%-a lassabb (magasabb)?
  1. 0,3385
  2. 0,3231
  3. 0,8944
  4. 6,417 másodperc
  1. Egy multinacionális cég telefonos ügyfélszolgálatán a telefonhívások hossza exponenciális eloszlást követ, melynek várható értéke 215 másodperc. Ez alapján válaszolja meg az alábbi kérdéseket!
    1. Mekkora a telefonhívások hosszának szórása?
    2. Mi a valószínűsége, hogy 3 percnél rövidebb egy hívás?
    3. Mi a valószínűsége, hogy 5 percnél hosszabb egy hívás?
    4. Legalább hány másodperc lesz a hívások leghosszabb 10%-a?
  1. 215 másodperc
  2. 0,5671
  3. 0,2477
  4. Legalább 495,06 másodperc.
  1. Egy nagy munkaadónál átlagosan 15 naponta történik munkahelyi baleset. Exponenciális eloszlás feltételezése esetén mi a valószínűsége, hogy a következő baleset
    1. 1 napon belül
    2. 5 napon belül
    3. 10 napon túl történik?
    4. Számítsa ki és értelmezze a szórást!
  1. 0,0645
  2. 0,2835
  3. 0,5134
  4. A szórás is 15 nap, azaz az átlagos 15 naptól való átlagos eltérés 15 nap.
  1. Egy légitársaság stewardesseinek formaruha ellátását konfekciós megrendeléssel próbálja biztosítani a költségek minimalizálása érdekében. A konfekciós kínálat 158 centimétertől 178 centiméterig terjed.
    1. A hölgyek hány százalékát nem lehet ilyen módon formaruhával ellátni, ha ismert, hogy a potenciális munkaerő kínálatot adó hölgyek testmagassága normális eloszlást követ 170 cm és 7 cm-es paraméterekkel?
    2. Amennyiben a kolléganők formaruha szükségletének 95%-át szeretnék lefedni egy adott beszállító segítségével, milyen méret terjedelmet kell megkövetelni a beszállítótól?
  1. 16,98%-át
  2. Végtelen sok megoldás elképzelhető, a leginkább kézenfekvő azonban a 156,28 és 183,72 cm közötti terjedelem.
  1. Az egyik nagy étteremlánc ablakához ebédidőben átlagosan kétpercenként érkeznek vendégek. Mi a valószínűsége, hogy
    1. a következő ügyfél kevesebb mint 1 percen belül érkezik meg?
    2. a következő ügyfél több mint 2 perc, de kevesebb mint 3 perc múlva érkezik meg?
    3. A délutáni időszakban az érkezések 3 percenként történnek. Ebben az esetben mi a válasza az a. és b. kérdésekre?
  1. 0,3935
  2. 0,1447
  3. 0,2835, illetve 0,1455
  1. Egy részvény napi hozama normális eloszlást követ \(\mu=0,1\%\) várható értékkel és \(\sigma=2\%\) szórással. Válaszolja meg az alábbi kérdéseket!
    1. Mi a valószínűsége, hogy a részvény napi hozama a várható érték körüli \(\pm 1\sigma\) sávban lesz?
    2. Napon belül, ha a részvény ára a nyitó árhoz képest \(10\%\)-ot változik, felfüggesztik a részvény kereskedését. Mi a valószínűsége, hogy fel lesz függesztve a kereskedés?
    3. Ha nap elején a részvény a részvény árfolyama \(4\,800\) HUF, akkor mi a valószínűsége, hogy a záró ár \(5\,000\) HUF felett lesz?
    4. Határozza meg, hogy a nap végén milyen sávban fog tartózkodni a részvény ára (tekintsünk el most a felfüggesztéstől) \(95\%\)-os valószínűséggel!
    5. Portfólió menedzserként minket csak a részvény áresése érdekel, milyen záróárra készüljünk fel, ha az esetek legrosszabb \(5\%\)-a érdekel (tekintsünk el most a felfüggesztéstől)?
  1. A keresett valószínűség (minden paraméterkombináció esetén) 68,3%.
  2. Adott feltételek mellett a valószínűség rendkívül alacsony, mindössze \(5{,}92\cdot 10^{-7}\). Ennél jóval gyakrabban történik a valóságban felfüggesztés, a normális eloszlás nem a legmegfelelőbb eszköz a hozam modellezésére.
  3. 0,0210
  4. Egészre kerekítve, \(4\,800\) forintos kezdő árfolyamot feltételezve a záráskor az árfolyam \(4\,617\) és \(4\,993\) forint között várható 95% valószínűséggel.
  5. \(4\,647\) forintos árfolyamra kell felkészülnünk.
  1. Egy részvény éves hozama normális eloszlást követ \(\mu=10\%\) várható értékkel és \(\sigma=20\%\) szórással, válaszoljuk meg az alábbi kérdéseket a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényével kifejezve!
    1. Mi a valószínűsége, hogy a részvény ára egy év múlva csökkenni fog?
    2. Mi a valószínűsége, hogy az éves hozam 20% felett lesz?
    3. Mi a valószínűsége, hogy az éves hozam a várható érték \(2\) szórásnyi környezetében lesz?
  1. \(\mathbf{P}\left(X<0\right)=\mathbf{P}\left(Z<\dfrac{0-10}{20}\right)=\mathbf{P}\left(Z<-0{,}5\right)=0{,}3085\)
  2. \(\mathbf{P}\left(X>20\right)=\mathbf{P}\left(Z>\dfrac{20-10}{20}\right)=\mathbf{P}\left(Z>0{,}5\right)=1-\mathbf{P}\left(Z<0,5\right)=0{,}3085\)
  3. \(\mathbf{P}\left(-30<X<50\right)=\mathbf{P}\left(-2<Z<2\right)=0{,}9545\)
  1. Tegyük fel, hogy egy futball ligában játszó középpályás meccsenkénti mozgásteljesítménye közelítőleg normális eloszlást követ, \(8\,000\) méter várható értékkel és 500 méteres szórással. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott mérkőzésen:
    1. \(7\,000\) méternél kisebb távolságot tesz meg?
    2. \(8\,400\) méternél nagyobb távolságot tesz meg?
    3. \(9\,000\) méternél nagyobb távolságot tesz meg?
    4. \(7\,500\) és \(9\,000\) méter közötti távolságot tesz meg?
    5. Mi az a távolság, amelynél a mérkőzések 80%-án többet teljesít a középpályás?
  1. 0,0228
  2. 0,2119
  3. 0,0228
  4. 0,8186
  5. \(7\,579{,}2\) méter
  1. Tudjuk, hogy egy ismeretlen paraméterpárral rendelkező normális eloszlás esetén az interkvartilis terjedelem, azaz a két kvartilis távolsága 20.
    1. Számítsa ki a normális eloszlás szórását!
    2. Adja meg az összefüggést a szórás és az interkvartilis terjedelem között!
    3. Mit tudunk megállapítani az eloszlás várható értékéről?

A megoldást pluszpontért várjuk.

  1. Egy üzleti felmérés alapján az induló vállalkozások esetében 100-ból 40 cég éli túl a 3 éves működést. Válaszolja meg az alábbi kérdéseket!
    1. Milyen eloszlással modellezné a cégek élettartamát?
    2. Alapításkor várhatóan hány évig fog működni egy cég és milyen szórással?
    3. 100 cégből hány fogja elérni az 5 éves működést?
    4. Határozza meg, hogy 95%-os valószínűséggel hány évig fog működni egy vállalkozás!

A megoldást pluszpontért várjuk.

  1. Legyen \(X\sim\mathcal{U}\left(0,1\right)\).
    1. Milyen transzformációval tud \(Y\sim\mathcal{U}\left(a,b\right)\) paraméterpárral rendelkező eloszlásból származó véletlen mintát generálni az \(X\)-ből származó véletlen minta segítségével?
    2. Generáljon \(Y\sim\mathcal{U}\left(10,15\right)\) véletlen értékeket \((n=1\,000)\)!
    3. Számítsa ki a kapott értékek átlagát és szórását, majd hasonlítsa össze azokat az elméleti értékekkel!
  1. \(Y=\left(b-a\right)X+a\)
  2. A generált értékek minden esetben mások lesznek, ellenőrizhető, hogy 10 és 15 között vannak-e?
  3. A generált értékek minden esetben mások lesznek, így a kapott átlag és szórás értékek is, azonban azoknak közel kell esniük az elméleti értékekhez.
  1. Egy \(X\) egyenletes eloszlású valószínűségi változóról tudjuk, hogy várható értéke \(1/2\), szórása pedig \(1/\sqrt{12}\).
    1. Milyen paraméterpárral rendelkező egyenletes eloszlásról van szó?
    2. Amennyiben ez az eloszlás alkalmas rá, generáljon segítségével egy \(1\,000\) elemű, \(Y \sim \mathcal{N}(1,5)\) eloszlású mintát Excel segítségével!
    3. Készítsen hisztogramot mindkét eloszlásból származó minta alapján!
    4. Ábrázolja \(Y\) elméleti sűrűségfüggvényét és vesse össze a mintából készült hisztogrammal!

A megoldást pluszpontért várjuk.