2.5 Gyakorló feladatok
Szükséges Excel ismeretek
Függvények:
- Középérték:
ÁTLAG, MÉRTANI.KÖZÉP, HARM.KÖZÉP, MÓDUSZ.EGY, MEDIÁN
- Szóródás: MIN, MAX, ÁTL.ELTÉRÉS, SZÓR.S, VAR.S
- Sokasági elhelyezkedés: NORMALIZÁLÁS (a függvény a z-score számítását végzi el)
Funkciók:
- Az Adatelemzés menü Leíró statisztika eszköze
- Egy futball válogatott által 10 mérkőzésen lőtt gólok száma a következő: 1, 3, 2, 5, 2, 1, 1, 0, 1, 5.
- Számítsa ki a mérkőzésenként rúgott gólok számának átlagát, móduszát, mediánját, illetve az átlagos abszolút eltérést és a szórást is papíron, számológéppel, majd Excel segítségével is!
- Értelmezze eredményeit!
- Számítsa ki a szórást a variancia átlagfelbontás képlete alapján is!
- Normalizálja a megfigyeléseket a 0-1 intervallumba!
- Számítsa ki a z-score értékeket! Mennyi a z-értékek átlaga és szórása?
- Nyissa meg a
hallgatok.xlsxfájlt!- Elemezze a hallgatók összes jövedelmét az előadáson megismert mutatókkal és értelmezze is azokat!
- Hasonlítsa össze a függvényekkel számított, valamint az Adatelemzés menü Leíró statisztika menüpontja által szolgáltatott eredményeket! Mik az előnyei-hátrányai az egyes megközelítéseknek?
- Készítsen összefoglaló táblázatot, melyben a munka jellege szerinti átlagos jövedelmek szerepelnek. Használjon függvényeket, illetve a már ismert kimutatás funkciót is! Elemezze az átlagos jövedelmeket a munka jellege és nem szerinti bontásban is!
- Egy futball válogatott által 10 mérkőzésen kapott gólok a következők: 4, 1, 2, 1, 0, 8, 1, 3, 0, 0. Számítsa ki a mérkőzésenként kapott gólok számának átlagát, szórását, móduszát, mediánját, relatív szórását papíron, számológéppel! Értelmezze eredményeit! Számítsa ki az egyes mérkőzésekhez tartozó z-értéket és a 0-1 közé transzformált értékeket is! Vannak kiugró értékek? Miért?
A képletgyűjtemény alapján a kért mutatók könnyedén meghatározhatók. \[\begin{aligned} \mu&=\dfrac{\sum{X_i}}{N}=\dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_N}{N} = \dfrac{4 + 1 + \cdots + 0}{10} = \dfrac{20}{10} = 2 \\ \sigma&=\sqrt{\dfrac{\sum_i\left(X_i-\mu\right)^2}{N}}=\sqrt{\dfrac{\left(4-2\right)^2 + \left(1-2\right)^2 + \cdots + \left(0-2\right)^2}{10}} = \sqrt{\dfrac{56}{10}} =2{,}3664 \end{aligned}\] Két módusz van, hiszen a 0 kapott gól és az 1 kapott gól is 3-3 alkalommal fordult elő. \[\text{Me}=\frac{X_{\left(\frac{N}{2}\right)}+X_{\left(\frac{N}{2}+1\right)}}{2} =\frac{X_{\left(5\right)}+X_{\left(6\right)}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1\] \[V=\dfrac{\sigma}{\mu} =\dfrac{2{,}3664}{2} = 1{,}1832\] A futball válogatott átlagosan 2 gólt kapott mérkőzésenként, ami azt jelenti, hogy ha minden mérkőzésen 2 gólt kapott volna, összesen ugyanannyi gól esett volna, mint a valóságban. Az átlagos 2 kapott góltól átlagosan négyzetesen 2,366 góllal tér el a kapott gólok száma. Az eltérés-négyzetösszeg 56, amiből a 8 kapott gól 36-ért "felelős", azaz ez a mérkőzés okozza a szórás nagy részét. A szórás 1,1832-szerese az átlagnak. A sokaság két módusszal rendelkezik, illetve a medián értéke egy, azaz a mérkőzések felén 1, vagy annál kevesebb gól született, míg a másik felén ennél több. A Z-értékeket és a 0-1 közé normált értékeket az alábbi képletek alapján számolhatjuk ki. \[Z_i=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\] \[Y_i=\dfrac{X_i-\text{MIN}{\left(X_i\right)}}{\text{MAX}{\left(X_i\right)}-\text{MIN}{\left(X_i\right)}}=\dfrac{X_i-X_{\left(1\right)}}{X_{\left(N\right)}-X_{\left(1\right)}}\] Kiugró értékeket (outlierek) tudunk keresni például a z-értékek alapján. A 8 kapott gólos mérkőzéshez tartozó z-érték 2,5355, ami abszolút értékben nagyobb mint 2, így tekinthetjük kiugró értéknek, viszont kisebb mint 3 így nem extrém kiugró érték.
- Egy kisvállalat 12 dolgozójának életkora az alábbi: 34, 28, 29, 54, 43, 32, 55, 25, 37, 41, 44, 44. Számítsa ki az életkor átlagát, átlagos abszolút eltérését, terjedelmét, móduszát, mediánját, relatív szórását papíron, számológéppel! Értelmezze eredményeit! Számítsa ki a legidősebb dolgozóhoz tartozó z-értéket és értelmezze azt!
A képletgyűjtemény alapján a kért mutatók könnyedén meghatározhatók. \[\begin{aligned} \mu&=\dfrac{\sum{X_i}}{N}=\dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_N}{N} = \dfrac{34 + 28 + \cdots + 44}{12} = \dfrac{466}{12} = 38{,}833 \\ \delta&=\dfrac{\sum_i\left|X_i-\mu\right|}{N}=\dfrac{\left|34-38{,}833\right| + \left|28-38{,}833\right| + \cdots + \left|44-38{,}833\right|}{12} = \dfrac{96}{12} =8 \\ \sigma&=\sqrt{\dfrac{\sum_i\left(X_i-\mu\right)^2}{N}}=\sqrt{\dfrac{\left(34-38{,}833\right)^2 + \left(28-38{,}833\right)^2 + \cdots + \left(44-38{,}833\right)^2}{12}} \\ &= \sqrt{\dfrac{1045{,}667}{12}} =9{,}3348 \end{aligned}\] Az átlagos életkor 38,833 év és egy dolgozó életkora átlagosan 8 évvel tér el ettől abszolút értékben, és 9,3348 évvel négyzetes értelemben. A terjedelem a legmagasabb és a legalacsonyabb érték különbsége: \(55-25=30\) év. A 44 év 2-szer fordul elő, míg minden más érték csak egyszer, így a módusz 44 év. \[\text{Me}=\frac{X_{\left(\frac{N}{2}\right)}+X_{\left(\frac{N}{2}+1\right)}}{2} =\frac{X_{\left(6\right)}+X_{\left(7\right)}}{2} = \frac{37+41}{2} = 39\] Tehát a dolgozók fele 39 évesnél fiatalabb, míg a másik fele ennél az életkornál idősebb. \[\text{V}=\dfrac{\sigma}{\mu} =\dfrac{9{,}3348}{38{,}833} = 0{,}2404\] A szórás 0,2404-szerese, tehát közel negyede az átlagnak. Az egyes életkorok az átlagos életkortól átlagosan 24%-kal térnek el. A legidősebb dolgozó 55 éves, a hozzá tartozó z-érték: \[Z_i=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma} =\dfrac{55-38{,}833}{9{,}3348} = 1{,}7319\] Tehát a legidősebb dolgozó életkora 1,7319 szórásnyival magasabb az átlagnál.
- Két különböző országban élő hallgató szeretné összehasonlítani az érettségi vizsgán elért eredményeit. Az A hallgató 80 pontot ért el egy 120 pontos teszten, a B hallgató pedig 370 pontot egy 500 pontos teszten. Tudjuk, hogy az A hallgató országában az átlagos pontszám az adott évben 75 lett, 12 pont szórással, míg a B hallgató országában 360 pont volt az átlag 30 pontos szórással. Segítsen az összehasonlításban!
Ha pusztán az hallgatók által elért százalékos eredményt tekintjük, az A hallgató 66,67%-ot, míg B hallgató 74%-ot ért el a vizsgán. Azonban ha figyelembe vesszük az adott országban elért átlagos teljesítményt azt kapjuk, hogy A hallgató 6,667%-kal míg B hallgató csak 2,778%-kal ért el jobb eredményt az átlagnál. Még pontosabb összehasonlítást kaphatunk, ha standardizált eredményeket, azaz a két eredményhez tartozó z-értéket hasonlítjuk össze. \[Z_A=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma} =\dfrac{80-75}{12} = 0{,}4167\] \[Z_B=\dfrac{X_i-\mu}{\sigma} =\dfrac{370-360}{30} = 0{,}3333\] Tehát A hallgató 0,4167 szórásnyival teljesített jobban az adott ország átlagánál, míg B hallgató csak 0,3333 szórásnyival.
- Számítsa ki és értelmezze a
hallgatok.xlsxfájl valamennyi arra alkalmas változója esetén a következő paramétereket: átlag, módusz, medián, szórás és relatív szórás. Az eredmények alapján válaszoljon a következő kérdésekre:- Átlagosan mire költenek a hallgatók a legtöbbet?
- Melyik vizsgált változó szempontjából a leginkább heterogének az évfolyam hallgatói?
- Az összes jövedelem szempontjából az egyes hallgatók átlagosan hány százalékkal térnek el az átlagtól?
- Átlagosan mintegy \(\mu = 8\,211\) forintot költenek havonta a hobbijukra.
- A sportra költött összeg szempontjából a leginkább heterogén a sokaság. A különböző mértékegységek és nagyságrend miatt a relatív szórást alkalmaztuk, ami ebben az esetben \(V=128{,}5\)%.
- Az összes jövedelem szempontjából az egyes hallgatók átlagosan \(V=45\)%-kal térnek el az átlagtól.
- Számítsa ki a
hallgatok.xlsxfájl alapján a különböző sporttevékenységet végzők- átlagos összjövedelmét!
- hobbira költött összegének szórását!
- minimális és maximális hobbival töltött időt, a hobbival töltött idő terjedelmét!
Csoportosított sokaság jellemzőinek számítása esetén érdemes minden esetben az Excel Kimutatás funkcióját alkalmazni!
- A különböző sporttevékenységet űzők átlagos összes jövedelme (Kimutatás, vagy haladó Excel használóknak az
ÁTLAGHAfüggvény segítségével):
| sporttevékenység | átlagos összjövedelem (Ft)- \(\mu_j\) |
|---|---|
| aerobic | \(53\,346{,}7\) |
| küzdősportok | \(55\,704{,}5\) |
| labdajátékok | \(50\,166{,}7\) |
| tánc | \(56\,370{,}4\) |
| télisportok | \(58\,750{,}0\) |
| testépítés | \(54\,028{,}6\) |
| összesen | \(54\,537{,}1\) |
- A különböző sporttevékenységet űzők hobbira költött összegének szórása (Kimutatás segítségével):
| sporttevékenység | hobbira költött összeg szórása (Ft) - \(\sigma_j\) |
|---|---|
| aerobic | \(7\,558{,}6\) |
| küzdősportok | \(9\,666{,}4\) |
| labdajátékok | \(7\,486{,}2\) |
| tánc | \(8\,966{,}9\) |
| télisportok | \(8\,585{,}5\) |
| testépítés | \(7\,164{,}9\) |
| összesen | \(8\,351{,}6\) |
- A különböző sporttevékenységet űzők hobbival töltött ideje (Kimutatás segítségével):
| sporttevékenység | min (óra) | max (óra) | terjedelem (óra) |
|---|---|---|---|
| aerobic | 2 | 50 | 48 |
| küzdősportok | 1 | 50 | 49 |
| labdajátékok | 3 | 80 | 77 |
| tánc | 1 | 60 | 59 |
| télisportok | 4 | 40 | 36 |
| testépítés | 1 | 35 | 34 |
| összesen | 1 | 80 | 79 |
- Az
ettermek.xlsxfájl egy kétszemélyes vacsora árait tartalmazza 50-50 belvárosi és külvárosi étteremre vonatkozóan.- Számítsa ki és értelmezze a következő mutatókat az árakra vonatkozóan: átlag, medián, módusz, szórás, relatív szórás!
- Mekkora az átlagos ételár a belvárosi és külvárosi éttermek esetén?
- A belvárosban, vagy a külvárosban homogénebbek az éttermek árai?
- A kétszemélyes vacsora átlagára a városban 44,67 euró. A leggyakrabban előforduló ár 44 euró. A vacsora árak fele 43 eurónál magasabb, fele pedig ennél alacsonyabb. Az egyes éttermek ára az átlagártól átlagosan 12,6 euróval tér el, ami 28,2%-os átlagos eltérésnek felel meg.
- A belvárosi átlag 47,28, a külvárosi pedig 42,06 euró.
- A hasonló nagyságrend miatt a csoportonkénti szórás alapján is dönthetnénk, de a korrekt megoldás a relatív szórás számítása. A külvárosban homogénebbek az árak, a relatív szórás mintegy 24%-os.
- Egy településen a családok megoszlása a gyermekek száma szerint az alábbi táblázatban látható.
- Számszerűsítse a móduszt!
- Mi a medián értéke? Értelmezze a mutatót!
- Mekkora az egy családra jutó gyermekek száma, ha tudjuk, hogy összesen 310 gyermek él a településen?
| Gyermekszám | Családok száma |
|---|---|
| 0 | 50 |
| 1 | 95 |
| 2 | 40 |
| 3 | 30 |
| 4 és több | 10 |
- A leggyakrabban előforduló gyermekszám az 1.
- Összesen 225 családot vizsgálunk, ezért a mediánt a sorrendbe tett megfigyelések közül a 113. adja. Ez az érték az egygyermekes családok egyikét jelöli, így a medián értéke is 1.
- Egy családra \(\dfrac{310}{225}=1{,}378\) gyermek jut.
- Az OTP részvény öt egymást követő napon a következő hozamadatokkal rendelkezik: +2,4%; -0,2%; -0,4%, +1,1%; +0,6%.
- Mekkora az öt nap alatt az átlagos hozam?
- Mennyi a részvény árfolyama a vizsgált időszak végén, ha a kezdetén 4330 forint volt?
A hozamok átlagát korrekt módon a mértani átlag formula segítségével számíthatjuk ki: \(\mu_g=\sqrt[5]{\prod_{i=1}^5 X_i} = \sqrt[5]{1{,}024 \cdot 0{,}998 \cdot 0{,}996 \cdot 1{,}011 \cdot 1{,}006} = 1{,}00695\), azaz az időszak alatt az átlagos napi hozam valamivel kevesebb mint 0,7%.
Az időszak végén az árfolyam \(4\,483\) forint volt.
- Egy országban az ezer lakosra jutó televíziós előfizetések száma lakóhely szerint az alábbi:
| Megnevezés | Ezer lakosra jutó előfizetések (db) | Népesség (ezer fő) |
|---|---|---|
| Főváros | 261 | 2015 |
| Megyeszékhely | 286 | 4421 |
| Egyéb település | 272 | 3899 |
| Összesen | ... | 10335 |
Számítsa ki, hogy mennyi országosan az ezer lakosra jutó előfizetések száma!
Országosan az ezer főre jutó előfizetések száma 275,84.
- Egy kontinensen, ahol csak A, B, C ország helyezkedik el, a népsűrűség országonként az alábbi:
| Ország | Népsűrűség (fő/km\(^2\)) | Népesség (fő) |
|---|---|---|
| A | 82 | 720000 |
| B | 102 | 420000 |
| C | 142 | 220000 |
| Összesen | ... | 1360000 |
Számítsa ki, hogy mennyi a népsűrűség az egész kontinensen!
Az egész kontinens népsűrűségét korrekt módon legegyszerűbben súlyozott harmonikus közép segítségével tudjuk kiszámolni. \(\mu_h=\dfrac{N}{\sum_j \dfrac{F_j}{X_j}}\) \(=\dfrac{1360000}{\dfrac{720000}{82}+\dfrac{420000}{102}+\dfrac{220000}{142}} = 94,1344\)
- Ön valutaváltóban dolgozik. Elmúlt héten az alábbi €-vételi adatokat regisztrálta:
| nap | árfolyam (Ft/€) | forgalom (ezer Ft) |
|---|---|---|
| hétfő | 284,50 | 8405 |
| kedd | 285,55 | 3330 |
| szerda | 284,25 | 6290 |
| csütörtök | 282,75 | 10270 |
| péntek | 281,35 | 12720 |
Határozza meg a heti középárfolyamot!
Euróban súlyozva az árfolyamokat, a heti középárfolyam 283,1245 Ft/€.
- Egy vállalatnak három telepe van. A műszaki alkalmazottak aránya az egyes telepek dolgozói között, valamint a vállalat műszaki alkalmazottainak megoszlása az egyes telepek között a következő:
| Telepek | Műszaki alk. aránya (%) | Műszaki alk. megoszlása (%) |
|---|---|---|
| A | 7 | 28 |
| B | 8,5 | 34 |
| C | 9,5 | 38 |
| Összesen | ... | 100 |
Számítsa ki, hogy a vállalatnál átlagosan mekkora a műszaki alkalmazottak aránya!
A műszaki alkalmazottak aránya átlagosan 8,33%.
- Egy kereskedelmi vállalat forgalma 2018-ról 2019-re 2%-kal, 2019-ről 2020-ra 3,9%-kal, míg 2020-ról 2021-re 8,5%-kal nőtt. Határozza meg az éves átlagos forgalomnövekedés mértékét!
\(\mu_g=\sqrt[3]{\prod_{i=1}^3 X_i} = \sqrt[3]{1{,}02 \cdot 1{,}039 \cdot 1{,}085} = 1{,}04765\), azaz az éves átlagos forgalomnövekedés 4,765%.
- A
TOP100.xlsxfájl Magyarország 100 legnagyobb árbevételű cégének adatait tartalmazza. Válaszolja meg az alábbi kérdéseket az adatok alapján!- Mekkora volt a legnagyobb 100 vállalat átlagos árbevétele 2011-ben?
- Hány ágazatba sorolhatók a vállalatok?
- Melyik ágazatban volt a legmagasabb az átlagos árbevétel? Mekkora ez az érték?
- Számítsa ki és értelmezze az árbevétel mediánját és relatív szórását!
- Számítsa ki és értelmezze a legnagyobb árbevételű cég esetén a z-score értéket!
- Az átlagos árbevétel \(310\,311\) millió forint, azaz több mint 310 milliárd forint.
- Összesen 20 iparág képviselői találhatók meg a TOP 100 vállalat között.
- Az energetikai ágazatban, méghozzá \(492\,265\) millió forintos átlaggal.
- A medián értéke \(172\,969\) millió forint, azaz hozzávetőlegesen 173 milliárd forint az az árbevétel, aminél a vállalatok fele magasabb, a másik fele alacsonyabb értékkel rendelkezik. A relatív szórás nagy értéket vesz fel, 181,6%-os értéke azt jelenti, hogy a TOP 100 vállalatok átlagosan az átlagos árbevétel 181,6%-ával térnek el az átlagos árbevételtől. A jelentős relatív szórás a néhány kiugróan nagy árbevétellel rendelkező vállalatnak köszönhető.
- A legnagyobb árbevétellel rendelkező cég a MOL. A z-score értéke 8,933, azaz a vállalat árbevétele közel 9 szórással haladja meg a TOP100 vállalat átlagos árbevételét. A 3 feletti z-score kiugróan nagy értéket jelent, így ebben az esetben is kiugró értékről beszélhetünk.
- Az előző év során feljegyeztük egy részvény napi záróárfolyamait, amelyből az alábbi összesítő táblázatot készítettük.
- Január 31-én a záróárfolyam 39 Ft volt. Számítsa ki az ehhez tartozó z-értéket. Számítsa ki az ehhez a megfigyeléshez tartozó 0-1 közé normalizált értéket. Mit tud elmondani ennek a megfigyelésnek a sokasági elhelyezkedéséről?
- November 30-án a záróárfolyam 14 Ft volt. Számítsa ki az ehhez tartozó z-értéket. Számítsa ki az ehhez a megfigyeléshez tartozó 0-1 közé normalizált értéket. Mit tud elmondani ennek a megfigyelésnek a sokasági elhelyezkedéséről?
| mutató | érték |
|---|---|
| Átlag | 30 Ft |
| Medián | 27 Ft |
| Szórás | 9 Ft |
| Minimum | 14 Ft |
| Maximum | 45 Ft |
- A január 31-i záróárfolyamhoz tartozó z-érték 1, a 0-1 közé normalizált érték pedig 0,806. A z-érték alapján a napi záróárfolyam 1 szórásnyival nagyobb az átlagos árfolyamnál. A minimum és maximum közti intervallum 80,6%-ánál helyezkedik el.
- A november 30-i záróárfolyamhoz tartozó z-érték -1,778, a 0-1 közé normalizált érték pedig 0. A z-érték alapján a napi záróárfolyam 1,778 szórásnyival kisebb az átlagos árfolyamnál. A minimum és maximum közti intervallum 0%-ánál helyezkedik el, tehát éppen ez a sokasági minimum.
- Egy gyáregységben három különböző beosztáshoz három különböző bér tartozik. A két üzemben az alábbi a szakmunkások létszáma:
| kereset (€/fő) | I. üzem (fő) | II. üzem (fő) | összesen |
|---|---|---|---|
| 800 | 10 | 20 | 30 |
| 1000 | 40 | 25 | 65 |
| 1100 | 30 | 25 | 55 |
| Összesen | 80 | 70 | 150 |
| a) Számítsa | ki üzemenként a | fizetések átlagá | t! Mi okozza a különbséget? |
| b) Számítsa | ki az üzemenkén | ti szórást! | |
| c) Számítsa | ki a gyáregység | re jellemző átlag | kereset és szórás nagyságát és értelmezze a kapott mutatókat! |
- Az I. üzem átlagkeresete 1012,5 euró/fő, a II. üzemben pedig 978,6 euró/fő. A különbséget az okozza, hogy a második üzemben nagyobb az alacsony keresetűek aránya.
- Az I. üzem kereseteinek szórása: 92,7 euró/fő, a II. üzem esetén ez az érték 120 euró/fő.
- A teljes gyáregységben az átlag 996,7 euró/fő, a szórás 108 euró/fő. Ez azt jelenti, hogy az egyes munkavállalók keresete átlagosan 108 euróval tér el a 997 eurós átlagos keresettől.
- Egy vállalat három gyáregységéről a következő adatokat ismerjük:
| Gyáregység | Egy főre jutó termelés (db/fő) | Term. menny. %-os megoszlása |
|---|---|---|
| A | 160 | 28 |
| B | 210 | 56 |
| C | 300 | 16 |
Határozza meg a vállalatnál az átlagos termelékenységet!
Az átlagos termelékenység 202,02 db/fő.
- Tegyük fel, hogy ismerjük egy nemnegatív értékeket felvevő sokasági változó átlagát, melyet jelöljünk \(\mu\)-vel. Határozza meg a variancia maximumát! Mekkora a relatív szórás maximuma (tipp: a variancia úgy lesz maximális, ha egyetlen nemnulla érték van a sokaságban)?
A megoldást pluszpontért várjuk.
- Bizonyítsa be, hogy egymás utáni \(N\) darab természetes szám varianciája felírható \(\sigma^2=(N^2-1)/12\) módon (tipp: használja a lineáris eltolásról tanultakat, a variancia átlagfelbontásának képletét, illetve az első \(N\) szám összegének és négyzetösszegének képletét)!
Középiskolai tanulmányok alapján tudjuk, hogy az első N szám összege: \(\sum_{i=1}^N X_i = \dfrac {N \left(N+1\right) }{2}\), illetve az első N szám négyzetösszege: \(\sum_{i=1}^N X_i^2 = \dfrac{N(N+1)(2 N+1)}{6}\)
Elsőként számítsuk ki a variancia átlagfelbontása segítségével az első \(N\) természetes szám varianciáját:
\[\begin{split} \sigma^{2} & = \mu ^{2}_{q}-\mu ^{2} = \frac{\sum_{i} X_i^2}{N} - \left(\frac{\sum_{i} X_i}{N} \right)^2 = \frac{(N+1)(2 N+1)}{6} - \left(\frac{N+1}{2}\right)^{2} =\\ & = \frac{2N^2+3N+1}{6}-\frac{N^2+2N+1}{4} = \frac{4N^2+6N+2-3N^2-6N-3}{12} = \frac{N^2-1}{12} \end{split}\]
Mivel tudjuk, hogy a lineáris eltolás a varianciát nem változtatja meg (hiszen a megfigyelések átlaghoz képesti távolsága nem változik), ezért bármely \(N\) egymást követő természetes szám varianciája is a fenti módon meghatározható.
- Bizonyítsa be, hogy a standardizált változók átlaga 0, szórása 1 (tipp: írja fel az átlag/szórás képletét a z-értékekre, majd helyettesítsen be, végezzen átalakításokat)!
A megoldást pluszpontért várjuk.
- Egy szolgáltató vállalatnál a bérek növelését tűzték ki célul.
- Milyen egységes szabályozás segítségével érhető el, hogy a bérek heterogenitása (szórása) ne változzon?
- Mi történik ebben az esetben a relatív szórással?
- Tudjuk, hogy a szórás és a variancia a lineáris eltolásra érzéketlen, ezért az egységes abszolút értékű növelés olyan egységes intézkedés, ami mellett a szórás változatlan marad, azaz minden dolgozó egyenlő mértékű emelést kell hogy kapjon.
- A relatív szórás, azaz a bérek heterogenitása egyértelműen csökken, hiszen a változatlan szórás mellett az átlagbér növekedik.