10.2 Sokasági arányok különbségének becslése

Gyakran nem két sokaság átlagát, hanem két sokaságban megfigyelhető arányt szeretnénk összehasonlítani. Az egymintás esethez hasonlóan megmutatható, hogy elegendően nagy minta esetén a

$$\begin{equation} Z = \frac{(P_X - P_Y) - (\pi_X - \pi_Y)}{\sqrt{\frac{P_X(1-P_X)}{n_X} + \frac{P_Y(1-P_Y)}{n_Y}}} \sim \mathcal{N}\left(0,1\right) \tag{10.10} \end{equation}$$

valószínűségi változó standard normális eloszlást követ, ahol $P_X$ és $P_Y$ jelöli a mintabeli arányok valószínűségi változóját, $\pi_X$ és $\pi_Y$ a két sokasági arány, $n_X$ és $n_Y$ pedig a két mintaelemszám.

Ebből belátható, hogy $1-\alpha$ megbízhatóságú konfidencia intervallum szerkeszthető a $\delta = \pi_X -\pi_Y$ sokasági arány különbségre

$$\begin{equation} p_X - p_Y \pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{p_X(1-p_X)}{n_X} + \frac{p_Y(1-p_Y)}{n_Y}} \tag{10.11} \end{equation}$$ módon, ahol $p_x$ és $p_y$ a mintából kiszámított arányt jelölik.

A termelési igazgató két beszállítótól származó termékek minőségét szeretné összehasonlítani, mintavételes módszerrel. Az A gyártó szállítmánya esetén a kivett 200 termékből 23 volt problémás, míg B gyártó esetén a kiválasztott 150 termékből 21 volt kifogásolható. Végezzünk 95%-os megbízhatóságú konfidencia intervallum becslést a sokasági arányok A és B gyártó közti különbségére vonatkozóan!

$$p_X - p_Y \pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{p_X(1-p_X)}{n_X} + \frac{p_Y(1-p_Y)}{n_Y}} = 0{,}115 - 0{,}14 \pm 0{,}071$$ Azaz a 95%-os megbízhatóságú konfidencia intervallum alsó határa $-0{,}096$ és felső határa $0{,}046$. Az eredmény alapján nem tudjuk eldönteni egyértelműen, hogy melyik sokasági arány a nagyobb, hiszen a különbség negatív és pozitív is lehet.