6.2 Momentumok

A 5.2. fejezetben megismerkedtünk a diszkrét valószínűségi változók két legfontosabb momentumával, a várható értékkel és a varianciával. A folytonos esetekben a momentumok jelentése, tartalma azonos, de az alkalmazandó képlet természetesen módosul, az összeadás folytonos megfelelőjére, az integrálásra támaszkodunk.

Egy \(X\) folytonos valószínűségi változó várható értékén a

\[\begin{equation} \mathbf{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) \mathrm{d} x \tag{6.4} \end{equation}\]

kifejezést értjük. A várható érték ebben az esetben is a sűrűségfüggvény tömegközéppontjaként értelmezhető, a statisztikai megfelelője a számtani átlag. Ez azt jelenti, hogy a kísérletet sokszor ismételve a kapott értékek átlaga a várható értékhez fog tartani.

Egy \(X\) folytonos valószínűségi változó varianciáján a

\[\begin{equation} \mathbf{D}^2(X)=\mathbf{E}(X-\mathbf{E}(X))^2=\int_{-\infty}^\infty (x-\mathbf{E}(X))^2 f(x) \mathrm{d} x \tag{6.5} \end{equation}\]

kifejezést értjük. A variancia gyökét a valószínűségi változó szórásának nevezzük és \(\mathbf{D}(X)\) módon jelöljük. A szórás azt mutatja meg, hogy a kísérletet sokszor ismételve a kapott értékek átlagosan milyen messze fognak elhelyezkedni a várható értéktől (és egyben a saját átlaguktól).

Ahogy azt már említettük, a momentumok számítása során a diszkrét összegzés helyett folytonos esetben integrálni szükséges, illetve a súlyfüggvény (\(\mathrm{P}(X=x)\)) szerepét a sűrűségfüggvény (\(f(x)\)) veszi át mind (6.4), mind (6.5) esetében.

Eddig nem ejtettünk szót a valószínűségi változók transzformációjáról, de ezen a ponton egy speciális műveletet meg kell említenünk, amely azonban elveiben már ismerős a 2.4. fejezetből.

Legyen \(X\) (nem feltétlenül folytonos) valószínűségi változó, ekkor a

\[\begin{equation} Z=\dfrac{X-\mathbf{E(X)}}{\mathbf{D}(X)} \tag{6.6} \end{equation}\]

transzformált valószínűségi változót standardizált valószínűségi változónak nevezzük. Könnyen belátható, hogy

• \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}\left(\dfrac{X-\mathbf{E}(X)}{\mathbf{D}(X)}\right)=\dfrac{\mathbf{E}(X)-\mathbf{E}(X)}{\mathbf{D}(X)}=0\)
• \(\mathbf{D}^2(Z)=\mathbf{D}^2\left(\dfrac{X-\mathbf{E}(X)}{\mathbf{D}(X)}\right)=\dfrac{1}{\mathbf{D}^2(X)}\mathbf{D}^2(X)=1\)

azaz a standardizált valószínűségi változó várható értéke 0, varianciája (és szórása) pedig 1.