9.1 A becslőfüggvény tulajdonságai

Az ismeretlen sokaság paraméterére vonatkozó következtetésünk minden esetben mintabeli információn fog alapulni, azaz egy valószínűségi változón, hiszen a mintánk minden mintavétel esetén más és más lenne. Ezt a valószínűségi változót becslőfüggvénynek, az adott minta esetén kiszámított értékét pedig becsült értéknek nevezzük.⁹ A becslőfüggvény tehát egy mintaelemektől mint valószínűségi változóktól függő matematikai formula, míg a becsült érték ennek a formulának az adott mintára vonatkozó kiszámított értéke, a valószínűségi változó egy realizációja, egy szám.

Első közelítésben tehát becslőfüggvényt kell meghatároznunk, amivel a becslés végrehajtható. Ez ugyan egyszerűnek tűnik, de mégsem létezik egyetlen legjobb módszer a függvény meghatározására. Az ebben a tananyagban tárgyalt egyszerű esetekre a becslőfüggvény többnyire kézenfekvő, azonban összetettebb esetekre ez már nem igaz. Annak érdekében, hogy a különböző becslőfüggvényeket össze tudjuk hasonlítani, érdemes néhány kritériumot felállítani, a két legfontosabb tulajdonság a torzítatlanság és a hatásosság.

9.1.1 Torzítatlanság

A becslőfüggvények egyik kívánatos tulajdonsága a torzítatlanság, ami alatt a következő tulajdonságot értjük (ahogy azt már az előző fejezetben is láttuk):

$\begin{equation} \mathbf{E}(\hat{\theta}) = \theta \tag{9.1} \end{equation}$

Ekkor azt mondjuk tehát, hogy a $\hat{\theta}$ becslőfüggvény torzítatlan becslőfüggvénye a $\theta$ sokasági paraméternek, a becslőfüggvény minden lehetséges mintán vett várható értéke pontosan a keresett sokasági paraméterrel egyenlő. A torzítatlanság tehát nem azt jelenti, hogy akár csak egyetlen mintabeli érték eltalálja a sokasági értéket, hanem azt, hogy a mintabeli értékek várható értékben a sokasági paramétert adják.

Ahogy azt a (8.1) összefüggésünk mutatta, a mintabeli átlagok átlaga (várható értéke) megegyezik a sokasági átlaggal, azaz a mintaátlag $\hat{\theta} = \overline{X}$ torzítatlan becslőfüggvénye a sokasági átlagnak $\theta = \mu$ . A mintabeli átlag azonban nem az egyetlen lehetséges -- és nem is minden esetben a legjobb -- becslőfüggvénye a sokasági átlagnak. A mintabeli medián is egy lehetséges, de nem minden esetben jó becslőfüggvény.

Amennyiben a $\sigma^2$ sokasági variancia becslőfüggvényét keressük, a torzítatlan becslőfüggvényt a mintabeli korrigált variancia adja, de itt is elképzelhető lenne más becslőfüggvény, pl. a mintabeli terjedelem osztva hárommal. Természetesen elméleti megalapozás nélkül ez a becslőfüggvény valószínűleg nem teljesítene túlságosan jól.

Vannak olyan esetek, amikor nem található torzítatlan becslőfüggvény, azaz nem teljesül a (9.1) összefüggés. A torzítás mértékét a

$\begin{equation} \mathbf{E}(\hat{\theta}) - \theta \tag{9.2} \end{equation}$

különbség méri, ami jellemzően $n$ , a mintaelemszám változásával változik¹⁰. Amennyiben $n \to \infty$ esetén a torzítás a 0-hoz tart, a tulajdonságot aszimptotikus torzítatlanságnak nevezzük.

A 9.1. táblázatban az általunk eddig ismert és leggyakrabban használt paramétereket és becslőfüggvényeket foglaljuk össze. Valamennyi becslőfüggvényről elmondható, hogy azok torzítatlanok, azaz a hozzájuk tartozó torzítás 0.

Táblázat 9.1: Sokasági paraméterek és becslőfüggvényeik
paraméter	$\theta$	becslőfüggvény	$\hat{\theta}$
sokasági átlag	$\mu$	mintabeli átlag	$\overline{X}$
sokasági variancia	$\sigma^2$	mintabeli korrigált variancia	$S^2$
sokasági arány	$\pi$	mintabeli arány	$P$

9.1.2 Hatásosság

A gyakorlatban sok esetben több torzítatlan becslőfüggvény is található, közülük segíthet választani a hatásosság. Azt a becslőfüggvényt preferáljuk a torzítatlan becslőfüggvények közül, melyek jobban koncentrálódnak a becsülni kívánt paraméter körül. Ez azt jelenti, hogy a hatásosabb becslőfüggvény esetén a mintabeli értékek átlagosan közelebb vannak a sokasági értékhez, mint a kevésbé hatékony alternatíva esetén.

Legyen $\hat{\theta_1}$ és $\hat{\theta_2}$ két, $\theta$ -ra vonatkozó, ugyanakkora mintából számított becslőfüggvény, akkor $\hat{\theta_1}$ hatásosabb mint $\hat{\theta_2}$ , ha $\text{Var}({\hat{\theta_1}}) < \text{Var}({\hat{\theta_2}})$ .

Léteznek ún. abszolút hatásos becslőfüggvények, melyek adott feltételek mellett bizonyíthatóan a legkisebb varianciájú becslést eredményezik.

Legyen $X$ normális eloszlású sokaság, melyből függetlenül vett nagy, $n$ elemű minta átlaga torzítatlan, és azt is tudjuk, hogy $\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$

Belátható, hogy a mintabeli medián is torzítatlan becslőfüggvénye a sokasági átlagnak nagy $n$ esetén, valamint $\text{Var}(\hat{\text{me}}) = \frac{\pi}{2}\frac{\sigma^2}{n}$

Mivel a mintaátlag varianciája alacsonyabb a mintabeli medián varianciájánál (

$\text{Var}(\overline{X}) < \text{Var}(\hat{\text{me}})$ ), ezért a fenti feltételek mellett az átlag hatásosabb becslőfüggvény, mint a medián. Nem szabad azonban elfelejtenünk, hogy lehetnek olyan esetek, például kiugró értékek esetén, amikor a medián hatásosabb becslőfüggvény a sokasági átlagra vonatkozóan. Ennek vizsgálata meghaladja tankönyvünk kereteit.

A továbbiakban is próbáljuk a valószínűségszámítás során bevezetett konvenciót követni. A valószínűségi változót nagybetűvel, míg a mintából származó becsült értéket kisbetűvel fogjuk jelölni. Ahol ez már nehezen tartható, gyakran használt jelölés a $\hat{}$ . Például a $\theta$ paraméter becslőfüggvényét $\hat{\theta}$ jelöli, általános esetben, amikor egy tetszőleges paraméterről beszélünk, mi is ezt a jelölést fogjuk használni.↩︎
Amennyiben nem változna, elegendő lenne a torzítást levonni a becslőfüggvényből, hogy torzítatlan becslőfüggvényt kapjunk.↩︎