5.2 Momentumok

A valószínűségi változókat -- csakúgy mint a statisztikai sokaságokat -- gyakran jellemezzük azok momentumaival. Végtelen sok momentum definiálható, ebben a tankönyvben csupán a legfontosabb kettővel fogunk megismerkedni: a várható értékkel és a varianciával (illetve a szórással).

Egy \(X\) diszkrét valószínűségi változó várható értékén a

\[\begin{equation} \mathbf{E} \left( X \right) = \sum_k x_k \cdot p_k \tag{5.3} \end{equation}\]

kifejezést értjük, ahol \(k\) a valószínűségi változó összes lehetséges értékét befutja. A várható érték a súlyfüggvény "tömegközéppontjaként" értelmezhető, a statisztikai megfelelője a számtani átlag. Ez azt jelenti, hogy a kísérletet sokszor ismételve a kapott értékek átlaga a várható értékhez fog tartani.

Visszatérve a kockadobás példájára a várható érték az alábbi módon határozható meg:

\[ \mathbf{E}(X) = 1 \cdot \dfrac{1}{6}+2 \cdot \dfrac{1}{6}+\dots+ 6 \cdot \dfrac{1}{6}=3{,}5 \]

Ez tehát egyrészt azt jelenti, hogy a 3,5 pontban van a súlyfüggvény tömegközéppontja, illetve nagyon sokszor elvégezve a kockadobás kísérletét, a kapott értékek átlaga egyre közelebb fog kerülni a 3,5 értékhez.

Egy \(X\) diszkrét valószínűségi változó varianciáján a

\[\begin{equation} \mathbf{D}^2(X)=\mathbf{E}(X-\mathbf{E}(X))^2=\sum_k(x_k-\mathbf{E}(X))^2 \cdot p_k \tag{5.4} \end{equation}\]

kifejezést értjük, ahol \(k\) a valószínűségi változó összes lehetséges értékét befutja. A variancia gyökét a valószínűségi változó szórásának nevezzük és \(\mathbf{D}(X)\) módon jelöljük. A szórás azt mutatja meg, hogy a kísérletet sokszor ismételve a kapott értékek átlagosan milyen messze fognak elhelyezkedni a várható értéktől (és egyben a saját átlaguktól).

A kockadobás példája esetén a variancia az alábbi módon határozható meg:

\[ \mathbf{D}^2(X) = (1 - 3{,}5)^2 \dfrac{1}{6}+ (2 - 3{,}5)^2 \dfrac{1}{6}+\dots+ (6 - 3{,}5)^2 \dfrac{1}{6}=\dfrac{35}{12} \]

Ez tehát azt jelenti, hogy a kockadobást sokszor elvégezve a kapott számok (statisztikai) szórása egyre inkább megközelíti a \(\sqrt{\dfrac{35}{12}}\) értéket.