7.3 Gyakorló feladatok

Szükséges Excel ismeretek

Függvények:

  • az 5. fejezetben megismert SZORZATÖSSZEG függvény

Funkciók:

  • Az 1. fejezetben megismert abszolút és relatív, valamint félrelatív hivatkozások
  1. Egy szupermarketben két kassza működik. A munkanapokon 15 órakor sorban állók számát jelölje \(X_1\), illetve \(X_2\). Válaszolja meg az alábbi kérdéseket:
    1. Mi a valószínűsége, hogy a kasszához érve azonnal fizethetünk?
    2. Mi a valószínűsége, hogy a kasszához érve mindkét sorban pontosan egy vásárlót találunk?
    3. Mi a valószínűsége, hogy mindkét sorban pontosan ugyanannyian állnak sorba?
    4. Mi a valószínűsége, hogy az egyik sorban pontosan kettővel többen állnak, mint a másikban? Írja fel ezt az eseményt \(X_1\) és \(X_2\) segítségével!
    5. Mi a valószínűsége, hogy a két sorban összesen négyen állnak?
    6. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb négyen állnak a két sorban összesen?

A korábbi megfigyelések alapján az alábbi valószínűségeket ismerjük:

\(X_1 \quad X_2\) 0 1 2 3
0 0,08 0,07 0,04 0,00
1 0,06 0,15 0,05 0,04
2 0,05 0,04 0,10 0,06
3 0,00 0,03 0,04 0,07
4 0,00 0,01 0,05 0,06
  1. Legyenek \(X\) és \(Y\) diszkrét valószínűségi változók, lehetséges kimeneteleik pedig \(-1, 0, 1\). Végezze el az alábbi feladatokat:
    1. Határozza meg a peremeloszlásokat!
    2. Határozza meg \(X\) és \(Y\) várható értékét és varianciáját!
    3. Határozza meg az \(X \vert Y=0\) feltételes valószínűségi változó várható értékét!
    4. Határozza meg az \(Y \vert X=-1\) feltételes valószínűségi változó várható értékét!
    5. A korábban meghatározott peremeloszlásokból állítsa elő a függetlenséget bemutató valószínűségeket tartalmazó táblát!
    6. Függetlennek tekinthető \(X\) és \(Y\)?
    7. Határozza meg \(X\) és \(Y\) kovarianciáját és korrelációját! Értelmezze a korrelációs együtthatót!
    8. Írja fel a várható érték vektort és a variancia-kovariancia mátrixot!

Az alábbi táblázat a lehetséges valamennyi közös kimenetel valószínűségét tartalmazza:

\(Y \quad X\) -1 0 1
-1 \(\frac{1}{8}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\)
0 \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{24}\)
1 \(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{16}\) \(\frac{1}{8}\)
  1. Egy vállalat kompot üzemeltet egy szigetre. A gépkocsik számára a díj 5000, buszok számára pedig 13000 forint. Legyen \(X\) az egy úton szállított gépkocsik, \(Y\) pedig a buszok száma. Az együttes valószínűségeket a lenti táblázat tartalmazza.
    1. Mi a valószínűsége, hogy pontosan egy gépkocsi és busz van a kompon?
    2. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb egy autó és legfeljebb egy busz van az átkeléskor a kompon?
    3. Számítsa ki \(X\) és \(Y\) várható értékét!
    4. Független egymástól a buszok és gépkocsik száma?
    5. Számítsa ki az egy átkelésből származó várható bevétel nagyságát!
    6. Mekkora a valószínűsége, hogy csak busz van a kompon?
    7. Mekkora a valószínűsége, hogy egy gépkocsi van a kompon, feltéve, hogy egy busz sem veszi igénybe a szolgáltatást?
    8. Mekkora a buszok számának várható értéke, feltéve, hogy két gépkocsi van a kompon?
    9. Számítsa ki a kovarianciát!
    10. Mekkora az \(X\) és \(Y\) közötti korreláció?
autó/busz 0 1 2
0 0,025 0,015 0,010
1 0,050 0,030 0,020
2 0,125 0,075 0,050
3 0,150 0,090 0,060
4 0,100 0,060 0,040
5 0,050 0,030 0,020
  1. 0,03
  2. 0,12
  3. \(\mathbf{E}(X)=2{,}8 \quad \mathbf{E}(Y)=0{,}7\)
  4. Igen, hiszen \(p_{ij}=p_{i.}\cdot p_{.j}\) minden \(i\) és \(j\) esetén.
  5. \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(5\,000X+13\,000Y)=5000 \cdot \mathbf{E}(X)+13\,000\cdot \mathbf{E}(Y)=23\,100\) Ft
  6. 0,025
  7. 0,1
  8. 0,7
  9. \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)
  10. \(\rho(X,Y)=0\)
  1. Egy gépkocsik számára alkatrészeket előállító vállalat két független gépsorral rendelkezik egy adott telephelyen. Havonta az üzemképtelen napok számának megoszlása a két gyártósor esetén a lenti táblázatban látható.
    1. Készítse el az együttes eloszlást bemutató táblázatot a függetlenség feltételezésével!
    2. Mi a valószínűsége, hogy egy adott nap mindkét gyártósor üzemel?
    3. Amennyiben egy adott hónapban 5, vagy annál több üzemképtelen nap fordul elő a gyárban, túlórát kell elrendelni. Mekkora ennek a valószínűsége?
db A sor B sor
0 0,950 0,900
1 0,020 0,050
2 0,015 0,020
3 0,005 0,010
4 0,005 0,010
5 0,005 0,010
  1. Függetlenség feltételezésével létrehozott együttes eloszlás:
\(A \quad B\) 0 1 2 3 4 5
0 0,85500 0,04750 0,01900 0,00950 0,00950 0,00950
1 0,01800 0,00100 0,00040 0,00020 0,00020 0,00020
2 0,01350 0,00075 0,00030 0,00015 0,00015 0,00015
3 0,00450 0,00025 0,00010 0,00005 0,00005 0,00005
4 0,00450 0,00025 0,00010 0,00005 0,00005 0,00005
5 0,00450 0,00025 0,00010 0,00005 0,00005 0,00005
  1. 0,855
  2. 0,0161
  1. Legyenek \(X\) és \(Y=X^2\) diszkrét valószínűségi változók, az alábbi táblázat a lehetséges közös kimenetelek valószínűségét tartalmazza.

    1. Van kapcsolat a két valószínűségi változó között?

    2. Határozza meg a peremeloszlásokat!

    3. Számítsa ki a kovariancia és a korrelációs együttható értékét! Értelmezze a kapott eredményt!

    4. Vesse össze az a. és c. kérdésekre adott válaszát! Mi a magyarázat?

      \(-1\) 0 1
      0 \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
      1 \(\frac{1}{4}\) \(0\) \(\frac{1}{4}\)
  1. Van, méghozzá függvényszerű (de nem lineáris) a kapcsolat (\(Y=X^2\)).
  2. Az együttes eloszlás kiegészítve a peremeloszlásokkal:
\(X \quad Y\) \(-1\) 0 1 \(\mathbf{P}(Y=y_i)\)
0 \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\)
1 \(\frac{1}{4}\) \(0\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
\(\mathbf{P}(X=x_i)\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{4}\) 1
  1. \(\mathrm{Cov}_{X,Y}=0 \to \rho_{X,Y}=0\)
  2. A két változó korrelálatlan, annak ellenére, hogy jól látható függvényszerű kapcsolat van közöttük. A korrelálatlanság nem jelent függetlenséget, a korrelációs és a kovariancia lineáris kapcsolatot mér!
  1. Egy részvény napi záró ára jövő héten minden nap vagy \(55\%\)-os valószínűséggel \(10\%\)-kal csökken vagy, \(45\%\)-os valószínűséggel \(5\%\)-kal emelkedik.
    1. Mi a pénteki záróár várható értéke, ha hétfőn \(100\) dollár a részvény ára?
    2. Hogyan változik a pénteki záróár várható értéke, ha szerdán \(110{,}25\) dollár a záróár?

Az adott napi árfolyamot szorozzuk a lehetséges hozamok valószínűségével és magával a hozammal. A valószínűségek számításánál használható a binomiális eloszlás függvénye is az Excelben.

  1. A számításokhoz készíthető egy segédtábla:
emelkedő napok valószínűség hozam
0 0,0915 0,6561
1 0,2995 0,7655
2 0,3675 0,8930
3 0,2005 1,0419
4 0,0410 1,2155

illetve közvetlenül is számítható a várható érték az alábbi képlettel: \(\mathbf{E}(X_{\text{péntek}})=100\cdot\sum_{k=0}^4 {4\choose k} 0{,}45^k \cdot 0{,}55^{4-k} \cdot 1{,}05 ^ {k} \cdot 0{,}9^{4-k}=87{,}62\)

  1. \(\mathbf{E}(X_{\text{péntek}}\mid X_{\text{szerda}}=110{,}25)=110{,}25\cdot\sum_{k=0}^2 {2\choose k} 0{,}45^k \cdot 0{,}55^{2-k} \cdot 1{,}05^k \cdot 0{,}9^{2-k}=103{,}2\)
  1. Egy elektromos kijelző két sorában három, illetve négy izzó található. Legyen \(X\) az első sorban, \(Y\) pedig a második sorban adott \(T\) idő alatt kiégő izzók számát. Az együttes eloszlást mutatja be a lenti táblázat. Határozza meg az alábbi valószínűségeket és kifejezéseket:
    1. \(\mathbf{P}(X=2)\)
    2. \(\mathbf{P}(Y \ge 2)\)
    3. \(\mathbf{P}(X \le 2, Y \le 2)\)
    4. \(\mathbf{P}(X = Y)\)
    5. \(\mathbf{P}(X > Y)\)
    6. \(\mathbf{P}(X=2 \mid Y=2)\)
    7. \(\mathbf{P}(Y=2 \mid X=2)\)
    8. \(\mathbf{E}(X)\)
    9. \(\mathbf{E}(Y)\)
    10. \(\mathbf{D}^2(X)\)
    11. \(\mathbf{D}^2(Y)\)
    12. \(\mathbf{E}(X \mid Y=3)\)
    13. \(\mathbf{E}(Y \mid X=0)\)
\(X \quad Y\) 0 1 2 3 4
0 0,08 0,07 0,06 0,01 0,01
1 0,06 0,10 0,12 0,05 0,02
2 0,05 0,06 0,09 0,04 0,03
3 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04
  1. \(\mathbf{P}(X=2)=0{,}27\)
  2. \(\mathbf{P}(Y \ge 2)=0{,}53\)
  3. \(\mathbf{P}(X \le 2, Y \le 2)=0{,}69\)
  4. \(\mathbf{P}(X = Y)=0{,}3\)
  5. \(\mathbf{P}(X > Y)=0{,}25\)
  6. \(\mathbf{P}(X=2 \mid Y=2)=0{,}3\)
  7. \(\mathbf{P}(Y=2 \mid X=2)=\frac{1}{3}\)
  8. \(\mathbf{E}(X)=1{,}34\)
  9. \(\mathbf{E}(Y)=1{,}65\)
  10. \(\mathbf{D}^2(X)=0{,}9844\)
  11. \(\mathbf{D}^2(Y)=1{,}5075\)
  12. \(\mathbf{E}(X \mid Y=3)=1{,}6923\)
  13. \(\mathbf{E}(Y \mid X=0)=1{,}1304\)
  1. A lenti táblázat egy előkelő étterem fogyasztóinak megoszlását mutatja be nem és a rendelt fogások száma szerint. Véletlenszerűen kiválasztva egy vendéget
    1. mekkora a valószínűsége, hogy férfi és 4 fogást rendel?
    2. mekkora a valószínűsége, hogy férfi, ha 4 fogást rendelt?
    3. Mennyi a női vendégek által rendelt fogások várható értéke?
fogások nő férfi összesen
1 fogás 12% 8% 20%
2 fogás 16% 19% 35%
3 fogás 8% 22% 30%
4 fogás 4% 11% 15%
összesen 40% 60% 100%
  1. 11%
  2. 73,3%
  3. 2,1
  1. Hallgatók körében elvégzett, kedvenc sportágra rákérdező kutatás a következő relatív gyakoriságokat eredményezte (egy embernek csak egy kedvenc sportága lehet). A táblázat alapján válaszolja meg az alábbi kérdéseket!

    1. Mi a valószínűsége, hogy valakinek nem a kerékpározás a kedvenc sportja?

    2. Mi a valószínűsége, hogy fiúként valakinek az úszás a kedvenc sportja?

    3. Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató lány és a futás a kedvenc sportága?

    4. Az úszáson belül mi a fiú-lány arány?

    5. Töltse ki a táblázatot a függetlenség feltételezésével!

      futás úszás kerék pár össze sen
      fiú 0,2 0,3 0,05 0,55
      lány 0 ,1 0 ,2 0,15 0,45
      összesen 0,3 0,5 0,2 1

  1. 0,8

  2. 0,5455

  3. 0,1

  4. 60% fiú, 40% lány

  5. A függetlenség esetén érvényes táblázat

    f utás ú szás k erékpár ö sszesen
    fiú 0,165 0,275 0,11 0,55
    lány 0,135 0,225 0,09 0,45
    összesen 0,3 0,5 0,2 1
  1. Az alábbi táblázatban a Kinizsi Százas 100 km-es teljesítménytúra 2012. évi kiírásának eredményei láthatóak életkor és a teljesítés sikeressége szempontjából. Egy indulót véletlenszerűen kiválasztva, mi a valószínűsége, hogy
    1. teljesíti a távot.
    2. 30 év alatti.
    3. teljesíti a távot és 20 év alatti.
    4. nem teljesíti a távot és 40 év feletti.
    5. teljesíti a távot, feltéve hogy 20 év alatti.
    6. Mekkora a várható életkora a véletlenül kiválasztott sportolónak, ha teljesítette a távot? (Az életkor kategóriák közepével végezze el a számítást!)
    7. Töltse ki a táblázatot a függetlenség feltételezésével!
korosztály teljesítette nem teljesítette összesen
-19 év 34 23 57
20-24 év 70 54 124
25-29 év 111 79 190
30-34 év 160 87 247
35-39 év 177 69 246
40-44 év 116 42 158
45-49 év 74 26 100
50- év 92 27 119
összesen 834 407 1241
  1. Vegyük észre, hogy nem a szokásos feladatról van szó, hiszen nem valószínűségek, hanem megfigyelt gyakoriságok szerepelnek a táblázatban. Az ilyen jellegű feladatok fontosak lesznek a következő félévben, ezért fontosnak tartjuk rövid bemutatásukat egy példán keresztül.
    1. 0,6720
    2. 0,2990
    3. 0,0274
    4. 0,0766
    5. 0,5965
    6. Az életkor kategóriák közepével számolva, feltételezve, hogy az első és utolsó korcsoport hossza megegyezik a többi csoportéval: \(\mathbf{E}(X)=\dfrac{34}{834} \cdot 17{,}5+\dfrac{70}{834} \cdot 22{,}5+\dots+\dfrac{92}{834} \cdot 52{,}5=36{,}37\) év
    7. Abból adódóan, hogy gyakoriságok \((f)\) szerepelnek, a függetlenség esetén érvényes gyakoriságokat a megszokottól eltérően számítottuk ki. A függetlenség esetén érvényes valószínűség számításának logikája a 20 év alatti teljesítőkre: \[p_{ij}^* = p_{i.} \cdot p_{.j}= \frac{f_{i.}}{n} \cdot \frac{f_{.j}}{n}=\dfrac{834}{1\,241} \cdot \dfrac{57}{1\,241}=0{,}0309\] azaz a függetlenség esetén érvényes gyakoriság \[f_{ij}^*=p_{ij}^* \cdot n = \dfrac{834}{1241} \cdot \dfrac{57}{1\,241} \cdot 1\,241=\dfrac{834 \cdot 57}{1\,241}=38{,}3\] korosztály teljesítette nem teljesítette összesen ----------- -------------- ------------------ ---------- -19 év 38,3 18,7 57 20-24 év 83,3 40,7 124 25-29 év 127,7 62,3 190 30-34 év 166,0 81,0 247 35-39 év 165,3 80,7 246 40-44 év 106,2 51,8 158 45-49 év 67,2 32,8 100 50- év 80,0 39,0 119 összesen 834 407 1241

A táblázatban szereplő többi érték hasonlóan számítható. Természetesen a függetlenség esetére vett gyakoriságok nem feltétlenül egész értékek.

  1. Legyen \(X\) és \(Y\) két valószínűségi változó, együttes eloszlásukat az alábbi táblázatban mutatjuk be.
    1. Számítsa ki a peremvalószínűségeket! Mekkora a \(\mathbf{P}\left(X=1\right)\) és a \(\mathbf{P}\left(Y=2\right)\) valószínűség?
    2. Mennyi az \(X\) valószínűségi változó várható értéke és szórása?
    3. Mennyi az \(Y\) valószínűségi változó várható értéke és szórása?
    4. Számítsa ki az \(\mathbf{E}\left(X \mid Y=1\right)\) várható értéket!
    5. Számítsa ki az \(\mathbf{E}\left(Y \mid X=1\right)\) várható értéket!
    6. Határozza meg a két változó közötti kovarianciát!
    7. Számszerűsítse és értelmezze a korrelációs együtthatót!
\(X \quad Y\) 1 2 3
\(-1\) 0,15 0,05 0,10
0 0,05 0,08 0,12
1 0,10 0,20 0,05
2 0,00 0,00 0,10
  1. \(\mathbf{P}\left(X=1\right)=0{,}35 \quad \mathbf{P}\left(Y=2\right)=0{,}33\)
  2. \(\mathbf{E}\left(X\right)=0{,}25 \quad \mathbf{D}\left(X\right)=0{,}9937\)
  3. \(\mathbf{E}\left(Y\right)=2{,}07 \quad \mathbf{D}\left(Y \right)=0{,}816\)
  4. \(\mathbf{E}\left(X \mid Y=1\right)=-\frac{1}{6}\)
  5. \(\mathbf{E}\left(Y \mid X=1\right)=1{,}857\)
  6. \(\mathbf{E}\left(XY\right)=0{,}7 \quad \mathrm{Cov}(X,Y)=0{,}1825\)
  7. \(\rho(X,Y)=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathbf{D}^2(X)\cdot\mathbf{D}^2(Y)}}=\dfrac{0{,}1825}{0{,}9937 \cdot 0{,}816}=0{,}225\), azaz gyenge pozitív irányú kapcsolat van a két változó között.
  1. Tegyük fel, hogy \(X\) és \(Y\) diszkrét együttes eloszlása az alábbiak szerint írható fel: \[p_{xy}=\begin{cases} c|x+y|,&\text{ ha }x=-2,-1,0,1,2\text{ és }y=-2,-1,0,1,2\\ 0 &\text{ különben} \end{cases}\]

Határozza meg az alábbi kifejezések értékét: a) \(c\) b) \(\mathbf{P}(X=0,Y=-2)\) c) \(\mathbf{P}(X=1)\) d) \(\mathbf{P}(|X-Y| \le 1)\) e) \(\rho_{XY}\)

  1. \(c=\frac{1}{40}\)
  2. 0,05
  3. 0,175
  4. 0,7
  5. 0,5532
  1. Töltse le az S&P 500-as index 2022-es idősorát (napi záróárakat vizsgáljunk)!
    1. Az adatokból állítsa elő, hogy mely napokon növekedett és mely napokon csökkent az index értéke!
    2. Állítsa elő azt a \(2\times 2\)-es kontingencia táblát, ahol a sorokban növekedések és a csökkenések száma, az oszlopokban pedig a megelőző napi csökkenések és növekedések száma van!
    3. Mondhatjuk, hogy a piaci mozgások függetlenek az előző napitól?
    4. Hogyan nézne ki a tábla, ha függetlenek lennének a napi változások?

Megoldás nélkül. Részletes Exceles megoldásért pluszpont kapható.