4.4 Gyakorló feladatok

Szükséges Excel ismeretek

Függvények:

permutáció: FAKT
variáció: VARIÁCIÓK, VARIÁCIÓK.ISM
kombináció: KOMBINÁCIÓK, KOMBINÁCIÓK.ISM

Adottak az AEKMT betűk.
1. Hányféleképpen lehet egymás mellé írni a betűket úgy, hogy mindegyiket pontosan egyszer használjuk fel?
2. Mi a valószínűsége, hogy éppen a MATEK szót írjuk le?
Egy pénzérmét egymás után 5-ször feldobunk és felírjuk, hogy fejet, vagy írást dobtunk-e.
1. Hány különböző sorozat fordulhat elő?
2. Mi a valószínűsége, hogy az első 3 dobás fej lesz?
3. Mi a valószínűsége, hogy összesen pontosan 3 fejet dobunk?

Ötöslottó esetében 90 szám közül 5-öt húznak ki hetente.
1. Mi a valószínűsége, hogy egy szelvényt kitöltve \(k\) találatunk (\(k=0,1,\dots,5\)) lesz?
2. Mi a valószínűsége, hogy heti 10 szelvénnyel játszva -- úgy, hogy minden szelvényen más számötös van -- ötös találatunk lesz?

Egy 100 fős évfolyamon 56 lány és 44 fiú van. Kiválasztunk az évfolyamból egy 10 fős mintát és a fiúk számával fogunk vizsgálatokat folytatni (jelölje őket \(X\)).
1. Számítsa ki az alábbi valószínűségeket, ha a mintát visszatevés nélkül vesszük!
  - \(\mathbf{P}(X = 3)\)
  - \(\mathbf{P}(X \leq 3)\)
  - \(\mathbf{P}(X < 3)\)
  - \(\mathbf{P}(X \geq 3)\)
  - \(\mathbf{P}(X > 3)\)
  - \(\mathbf{P}(4 \leq X \leq 7)\)
  - \(\mathbf{P}(4 \leq X < 7)\)
2. Számítsa ki a fenti valószínűségeket úgy is, ha a mintát visszatevéssel vesszük!

Két napon egy gyárban azonos termékeket gyártanak (más napokon nincs gyártás). A napi termelt mennyiségek és selejtarányok az alábbi táblázatban találhatók:

nap	termelt mennyiség (db)	selejtarány
hétfő	500	2,0%
kedd	1500	6,0%

Legyen \(A=\{\text{A termék hibás}\}\), illetve \(H=\{\text{Hétfői termelés}\}\). Határozza meg a \(\mathbf{P}\left(\text{H}\right)\), \(\mathbf{P}\left(A\right)\), \(\mathbf{P}\left(\overline{A}\right)\), \(\mathbf{P}(A \mid H)\) és \(\mathbf{P}(H \mid A)\) valószínűségeket!

Legyen \(\mathbf{P}\left(A\right)=0{,}5, \mathbf{P}\left(B\right)=0{,}4, \mathbf{P}\left(A \cap B\right)=0{,}25\). Számítsa ki az alábbi valószínűségeket:
1. \(\mathbf{P}\left(A \cup B\right)\)
2. \(\mathbf{P}\left(\overline{A \cup B}\right)\)
3. \(\mathbf{P}\left(A - B\right)\)

0,65
0,35
0,25

Legyen \(\mathbf{P}\left(A\right)=0{,}8, \mathbf{P}\left(B\right)=0{,}7, \mathbf{P}\left(A \cup B\right)=0{,}9\). Számítsa ki az alábbi valószínűségeket:
1. \(\mathbf{P}\left(A \cap B\right)\)
2. \(\mathbf{P}\left(A - B\right)+\mathbf{P}\left(B - A\right)\)

Legyen

\(\mathbf{P}\left(A_1\right)=0{,}12, \mathbf{P}\left(A_2\right)=0{,}07, \mathbf{P}\left(A_3\right)=0{,}05\)
\(\mathbf{P}\left(A_1 \cup A_2\right)=0{,}13, \mathbf{P}\left(A_1 \cup A_3\right)=0{,}14, \mathbf{P}\left(A_2 \cup A_3\right)=0{,}1\)
\(\mathbf{P}\left(A_1 \cap A_2\cap A_3\right)=0{,}01\)

Számítsa ki az alábbi valószínűségeket: a) \(\mathbf{P}\left(\overline{A_1}\right)\) b) \(\mathbf{P}\left(A_1 \cap A_2\right)\) c) \(\mathbf{P}\left(A_1 \cap A_2 \cap \overline{A_3}\right)\) d) \(\mathbf{P}\left(\overline{A_1 \cap A_2 \cap A_3}\right)\)

0,88
0,06
0,05
0,99

Adottak az AAAEIKMMTT betűk.
1. Hányféleképpen lehet egymás mellé írni a betűket úgy hogy különböző karakterláncokat kapjunk?
2. Mi a valószínűsége, hogy éppen a MATEMATIKA szót írjuk le?

\(\frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2!}=151\,200\)
\(\frac{3! \cdot 2! \cdot 2!}{10!}=\frac{1}{151\,200}\)

Egy adatállományban 10 darab minőségi ismérv található.
1. Hányféle kétdimenziós kontingencia táblát lehet felépíteni belőlük?
2. Hányféle háromdimenziós kontingencia táblát lehet felépíteni belőlük?

\({10\choose 2}=45\)
\({10\choose 3}=120\)

Két darab 6 oldalú kockával dobunk.
1. Mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 6?
2. Mi a valószínűsége, hogy az egyik többszöröse a másiknak?

\(\mathbf{P}\left(A\right)=\frac{5}{36}\)
\(\mathbf{P}\left(B\right)=\frac{16}{36}\), illetve amennyiben az azonos dobásokat is többszörösként (egyszeresként) értelmezzük, úgy \(\mathbf{P}\left(B\right)=\frac{22}{36}\)

Szeretnénk befektetni egy adott részvénybe, aminek mozgásáról tudjuk, hogy a cég negyedéves jelentésétől függ. Amennyiben a negyedéves jelentésben a cég profitja növekedett, úgy a részvény ára 0,6-os valószínűséggel nő, ha a cég profitja stagnált, akkor a részvény 0,4-es valószínűséggel nő, illetve ha a cég profitja csökkent, akkor 0,05-ös valószínűséggel nő a részvény árfolyamat. Független szakértők szerint a profit növekedés valószínűsége 0,3, a stagnálásé 0,3 a csökkenésé pedig 0,4. Mi a valószínűsége, hogy a részvény ára növekedni fog?

\(\mathbf{P}\left(A\right)=0{,}3 \cdot 0{,}6 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}32\)

Egy részvény hétfőn 100 dolláros árfolyamon zár, minden nap vagy 1,1-szeresére növekszik az előző napi árfolyamnak 0,45 valószínűséggel vagy 0,8-szorosára csökken 0,55 valószínűséggel.
1. Mi a valószínűsége, hogy szerdán 88 dolláron zár a részvény?
2. Mi a valószínűsége, hogy pénteken záráskor a hétfőn vásárolt részvény pozitív hozamot hajt?

\(\mathbf{P}\left(A\right)=0{,}45 \cdot 0{,}55 + 0{,}55 \cdot 0{,}45 = 0{,}495\)
A következő táblázat foglalja össze a lehetséges kimeneteleket:

növekvő napok száma	hozam	valószínűség
0	0,4096	0,0915
1	0,5632	0,2995
2	0,7744	0,3675
3	1,0648	0,2005
4	1,4641	0,0410

Azaz a keresett valószínűség: \(\mathbf{P}\left(B\right)= 0{,}2005+0{,}0410 = 0{,}2415\)

A következő vizsgaidőszakban Szorgalmas Szabolcsnak 6 vizsgája lesz, tegyük fel, hogy mindegyiket elsőre teljesíti.
1. Hányféle sorrendben mehet el az egyes vizsgákra?
2. Ha két tárgyból lehet javítani egy félévben, hányféleképp választhatja ki ezeket, feltéve, hogy egy tárgyból egyszer megy javítani és egyik tárgyból sem kapott jelest?
3. Hogyan módosulnak a fenti értékek, ha nem 6, hanem 8 vizsgája lesz Szabolcsnak?

A lehetséges sorrendek száma \(6!=720\)
\({6\choose 2}=15\)
A lehetőségek száma jelentősen növekszik, méghozzá 40320-ra és 28-ra.

A Négyszögletű Kerek Erdő közepén találkozik a Hős a Hétfejű Sárkánnyal, aki lerágja a fejét, ha nem áll ki egy próbát útban a Hercegkisasszony megmentésére. A próba során az alábbiak valamelyikét kell vállalni:
- kihúz egy ászt a 32 lapos magyar kártyacsomagból,
- egymás után két hatost dob egy hatoldalú dobókockával, vagy*
- egymás után 3 írást dob egy pénzérmével.

Melyik lehetőséget válassza a Hős, hogy a legnagyobb legyen az esélye a túlélésre? Mekkora ez a valószínűség?

Az események valószínűsége rendre: \[\mathbf{P}(A)=\frac{4}{32}\quad\mathbf{P}(B)=\frac{1}{6^2}\quad\mathbf{P}(C)=\frac{1}{2^3}\] tehát mindegy, hogy a kártyahúzást vagy az érmedobást választja.

A statisztika teszt 5 kérdésből áll, mindegyik kérdésnél 4 lehetőség közül kell kiválasztani az egyetlen helyes választ. Ahány helyes válasz születik, annyi lesz az osztályzat (ha egyet sem talál el a kitöltő, az is elégtelen). Ha a kitöltő nem készült, csak véletlenszerűen tud válaszolni, akkor
1. mennyi a valószínűsége, hogy mégis jelest kap?
2. mennyi a valószínűsége, hogy nem lesz a dolgozat elégtelen?

Annak a valószínűsége, hogy \(k\) "találatunk" lesz a teszten: \[p(k)={5\choose k} \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{5-k}\] ez alapján

\(\mathbf{P}(A)=p(5)=0{,}000977\)
\(\mathbf{P}(B)=1-\left(p(0)+p(1)\right)=1-0{,}6328=0{,}3672\)

Egy hatoldalú kockával kétszer dobunk. Tekintsük a következő eseményeket: \(A=\{\text{a dobott számok összege 7.}\}\) \(B=\{\text{az első dobás páratlan.}\}\)

Számítsa ki az alábbi valószínűségeket: a) \(\mathbf{P}\left(A\right)\) b) \(\mathbf{P}(A\mid B)\) c) Mit tapasztal, hogyan viszonyul egymáshoz a két valószínűség? Mit jelent ez? d) Módosítsuk az \(A\) eseményt úgy, hogy a számok összege 7 helyett 8 legyen. Mi a válasza ekkor az a-c. kérdésekre?

mivel a kedvező események száma 6, így \(\mathbf{P}(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
\(\mathbf{P}(A|B)=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}\)
\(\mathbf{P}(A)=\mathbf{P} (A|B)\), azaz a két esemény független egymástól.
\(\mathbf{P}(A)=\frac{5}{36}\) és \(\mathbf{P} (A|B)=\frac{1}{9}\), ekkor a két esemény nem független

Egy gyártósort vizsgálunk. Tekintsük az alábbi három eseményt: \(A=\{\text{Az első gép működik.}\}\) \(B=\{\text{A második gép működik.}\}\) \(C=\{\text{A harmadik gép működik.}\}\)

Írja fel szimbólumokkal az alábbi eseményeket: a) Legalább az egyik gép működik. b) Egyik gép sem működik. c) Pontosan egy gép működik. d) Pontosan két gép működik. e) Mindhárom gép működik.

\(A \cup B \cup C\)
\(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\) vagy \(\overline{A \cup B \cup C}\)
\(\left(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B \cap \overline{C}\right) \cup \left(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C\right)\)
\(\left(A \cap B \cap \overline{C}\right) \cup \left(A \cap \overline{B} \cap C\right) \cup \left(\overline{A} \cap B \cap C\right)\)
\(A \cap B \cap C\)

Egy 52 lapos kártyacsomagot hányféleképp lehet kiosztani 4 játékos között?

\(\frac{52!}{13! \cdot 13! \cdot 13! \cdot 13!}=5{,}36 \cdot 10^{28}\)

Hányféleképp lehetséges kitölteni egy totó-szelvényt (13+1 mérkőzés)?

\(3^{14}=4\,782\,969\)

Három berendezés azonos termékeket gyárt. A napi termelt mennyiségek és selejtarányok a lenti táblázatban találhatók berendezésenként. Legyen \(A=\{\text{A termék hibás}\}\). Határozza meg az alábbi valószínűségeket:
1. \(\mathbf{P}\left(A\right)\)
2. \(\mathbf{P}(A \mid B_1)\)
3. \(\mathbf{P}(B_1 \mid A)\)
4. \(\mathbf{P}(B_2 \mid A)\)
5. \(\mathbf{P}(B_3 \mid A)\)

berendezés	termelt mennyiség (db)	selejtarány
B1	1000	2,0%
B2	2000	2,5%
B3	3000	4,0%

\(\mathbf{P}(A)= \frac{19}{600} \approx 3{,}17\%\)
\(\mathbf{P} (A|B_1)=2\%\)
\(\mathbf{P} (B_1|A)=\frac{2}{19} \approx 10{,}53\%\)
\(\mathbf{P} (B_2|A)= \frac{5}{19} \approx 26{,}32\%\)
\(\mathbf{P} (B_3|A)= \frac{12}{19} \approx 63{,}16\%\)

Tegyük fel, hogy a népességben felüti a fejét egy ritka betegség, mely a lakosság 1%-át érinti. A betegség korai stádiumában tesztelhető, a teszt 90%-os hatékonysággal mutatja ki a negatív és pozitív eseteket is. Amennyiben a teszt eredménye pozitív, mi a valószínűsége, hogy a tesztelt személy ténylegesen elkapta a betegséget? Kell már izgulnia a páciensnek?

A keresett valószínűség \(\frac{1}{12}=0{,}0833\), azaz a valószínűség sokkal nagyobb lett, de még mindig viszonylag alacsony.

Tegyük fel, hogy azonos arányban születnek fiúk és lányok a családokban. Egy kétgyermekes családot kiválasztva tudjuk, hogy az egyik gyermek fiú. Mi a valószínűsége, hogy a másik gyermek lány?

\(\frac{2}{3}\)

Tekintsük az A és B részvényeket, hosszas megfigyelések után arra jutunk, hogy amennyiben a B részvény árfolyama növekszik, akkor annak a valószínűsége, hogy az A árfolyama is nő 0,7. A priori az A részvény árfolyama 0,4 valószínűséggel, míg B részvény árfolyama 0,3 valószínűséggel nő. (Tegyük fel, hogy az árfolyam nem stagnál.)
1. Tudjuk, hogy az A részvény ára csökken, mi a valószínűsége, hogy aB-é is csökken?
2. Mi a valószínűsége, hogy ha a B árfolyama csökken, akkor az A-é is csökkenni fog?

Legyenek az alábbiak az eseményeink: \(A\) esemény - \(A\) részvény árfolyama NŐ \(B\) esemény - \(B\) részvény árfolyama NŐ Ekkor \(P(A) = 0{,}4 \rightarrow P( \bar{A})=1-P(A)=1-0{,}4=0{,}6\) \(P(B) = 0{,}3 \rightarrow P( \bar{B})=1-P(B)=1-0{,}3=0{,}7\)

$P(A|B) = 0{,}7 \rightarrow P( \bar{A}|B)=1-P(A|B)=1-0{,}7=0{,}3$\

\(P( \bar{B} | \bar{A})=1-P( B| \bar{A})=1-\dfrac{P( \bar{A}|B) \cdot P(B)}{P( \bar{A})}=\) \(1-\dfrac{(1- P(A|B)) \cdot P(B)}{P( \bar{A})} =\) \(1-\dfrac{(1- 0{,}7) \cdot 0{,}3}{0{,}6} =\) \(= 0{,}85 = 85\%\)
\(P( \bar{A} | \bar{B})=1-P( A| \bar{B})=1-\dfrac{P( \bar{B}|A) \cdot P(A)}{P( \bar{B})}=\) \(1-\dfrac{(1- P(B|A)) \cdot P(A)}{P( \bar{B})} =\) \(1-\dfrac{\Bigg(1- \dfrac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \Bigg) \cdot P(A)}{P( \bar{B})} =\) \(1-\dfrac{\Big(1- \dfrac{0{,}7 \cdot 0{,}3}{0{,}4} \Big) \cdot 0{,}4}{0{,}7} =\) \(= 0{,}728571429 \approx 72{,}86\%\)